實數線

實數線

數學上,實數軸就是實數的集合R。另外,這一術語通常在R被當作某種空間(諸如拓撲空間、向量空間)的時候使用。實數線具有一個標準拓撲,它可以通過兩種等價的方法引入。

簡單介紹

儘管至少早在古希臘時代,人們就開始研究實數線,但直到1872年,實數線才被嚴格地定義。而自始至終,它一直是在數學的許多分支中扮演重要角色的實例。

拓撲引入

實數線具有一個標準拓撲,它可以通過兩種等價的方法引入:

(1)實數滿足全序關係,它們具有序拓撲;

(2)實數能夠通過絕對值 的度量轉換到度量空間。這一度量給出R上等價於序拓撲的拓撲。

套用

作為拓撲空間,實數線是個1維的拓撲流形。

它既是可縮空間、局部緊緻空間,也是仿緊緻空間、第二可數空間。 它還具有標準可微結構,使它成為可微流形(由於可微同構,該拓撲空間只支持一個可微結構) 。事實上,R是歷史上研究這些數學結構的第一個實例,它啟示了現代數學這些分支。實際上,上述這些術語中的其中一些在沒有R的情況下甚至不能被定義。

作為向量空間,實數線是實數域R(即其自身)上的1維向量空間。它具有標準內積,使它成為歐幾里得空間(這個內積就是普通的實數的乘法) 作為向量空間,它並不引起注意。實際上是2維歐幾里得空間首先被作為向量空間進行研究的。 然而,仍然可以說,由於向量空間首先是在R上進行研究的,它啟示了線性代數。R也是環,甚至是域的主要實例。實數完備域實際上是第一個被研究的域,所以它也啟示了抽象代數。 然而,在純代數文獻中,R幾乎不被稱為“線” 。

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