概念
容許函式(admissible function)是一種特殊函式，指變分積分J(u)中滿足一定條件的函式u。容許函式的集合稱為容許函式類。例如最速落徑問題中的容許函式是滿足：
容許函式的一次可微函式，測地線問題中的容許函式v=v(u)要使相應曲線在給定曲面上等。
函式
數學中最重要的概念之一。它是從大量實際問題中抽象出來的，體現出合乎形式邏輯和辯證邏輯的數學思維.函式概念多方面地促使數學向前發展，它幾乎是現代數學每一分支的主要研究對象。由於函式概念的內涵逐步擴充，因而數學新的分支也不斷地湧現。
中學數學中函式的定義是：如果在某變化過程中有兩個變數x和y，並且對於x在某個範圍內的每一個確定的值，按照某個對應法則，y都有唯一確定的值和它對應，那么y就是x的函式，x叫做自變數，x的取值範圍叫做函式的定義域.和x的值對應的y的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
從映射的觀點給出函式的定義是：當集合A，B都是非空的數的集合，且B的每一個元素都有原象時，這樣的映射f：A→B就是定義域A到值域B上的函式.函式是由定義域、值域以及定義域到值域上的對應法則三部分組成的一類特殊的映射。
例如函式y=x+2，它的定義域是A={x|x∈R}，值域是B={y|y≥2}，對應法則是“平方加2”，這個函式就是一個集合A到B上的映射。
函式這個名詞，是微積分的奠基人之一——德國的哲學家兼數學家G.W.萊布尼茲首先採用的。他用函式表示任何一個隨著曲線上的點的變動而變動的量。與此同時，瑞士數學家雅克·貝努利給出了和G.
W.萊布尼茲相同的函式定義。1718年雅克·貝努利的弟弟約翰·貝努利給出了函式的如下定義：由任一變數和常數的任意形式所構成的量叫做這一變數的函式。後來約翰·貝努利的學生歐拉把函式定義又推進了一步，使之更加明朗化。他把凡是可以給出“解析式表示”的，通稱為函式。這裡的“解析式”包括多項式、對數式，三角式乃至冪級數。並且於1734年採用了現在通用的記號f(x)來表示函式。後來，由於對於一個函式表達方式是否唯一的問題，在不斷的爭議中逐漸澄清，法國數學家柯西又引入了新的函式定義：在某些變數間存在著一定的關係，當一經給定其中某一變數的值，其他變數的值也可隨之而確定時，則將最初的變數稱之為“自變數”，其他各變數則稱為“函式”。到了19世紀德國數學家黎曼給出了函式的下述定義：對於x的每一個值，y總有完全確定的值與之對應，而不拘建立x，y之間的對應方法如何，均將y稱為x的函式。另一個德國數學家狄利克雷也於1837年給出一個新的函式定義：對a≤x≤b之間的每一個x值，y總有完全確定的值與之對應，不論這一對應是用什麼方法建立的，總可以把y稱為x的函式。這兩個定義都徹底拋棄了以前定義中解析式的束縛，特別突出了函式概念的本質——對應思想。
變分積分
變分法中研究的主要泛函。形如：
容許函式的泛函J(u)稱為變分積分，函式F(x，z，p)稱為變分被積函式或拉格朗日函式。Ω是R中的區域，z=(z，z，…，z)∈R，p=(p)=(p，p，…，p，…，p，p，…，p)∈R表示函式u對各自變數的偏導數，以下各詞條中的記號J(u)均表示這一積分。這裡u也可以是向量值函式，當u是一元數量函式時，則用y表示，J(u)記為J(y)，並稱為最簡變分積分。
變分法
亦稱變分學，研究泛函極值的一門學科。變分法主要研究泛函的變元函式使泛函達到極值的必要條件和充分條件，並研究求得該變元函式的方法及其性質。變分法的研究方法有直接法與間接法。直接法是直接由泛函去求得極值或判斷相應極值問題是否有解；而間接法是先給出泛函達到極值的必要條件：歐拉-拉格朗日方程(亦稱為歐拉方程)，然後在滿足歐拉-拉格朗日方程的解中，利用各種充分條件來判斷變分問題是否有解。
變分法的歷史可追溯到古希臘，那時就有了所謂等周問題：在長度一定的封閉曲線中，找出圍出最大面積的一條封閉曲線。另一著名的問題即最速落徑問題是由伽利略(Galilei，G.)首先提出的。但對變分法實質性研究還是從1696年，約翰第一·伯努利(Bernoulli，Johann Ⅰ)公開向歐洲數學家給出該問題的解開始，洛必達(L'Hospital，G.-F.-A.de)、雅可比(Jacobi，C.G.J.)、約翰第一·伯努利、萊布尼茨(Leibniz，G.W.)、牛頓(Newton，I.)用了不同的方法解決了這個問題。後來歐拉(Euler，L.)和拉格朗日(Lagrange，J.-L.)對這一類問題的研究奠定了變分法的理論基礎。變分法這一名詞由拉格朗日首次提出來，一直沿用下來。
人們研究變分法，是因為社會和自然諸多領域都存在變分原理的實際背景。社會追求效益，投入一定時，希望產出最大；或產出一定時，希望投入最小。某些現象中，自然也依最簡單最有效的方式運行。牛頓在《自然哲學的數學原理》中寫到：“自然不做任何徒勞無益的事情，浪費愈多，服務愈少。自然喜歡簡單性而不為浮華所動”。現代科學早期就依最優原理表達某些自然規律。這一原理看來在一定程度上反映了宇宙的先驗的和諧性，特別吸引那些為知識的統一性和簡單性而奮鬥的科學家。事實上，確實有許多自然規律可用極值原理來表達。第一個發現這種類型的原理是公元前100年，亞歷山大的海倫(Heron，(A))提出的，他用光總走最短路徑解釋光的反射定律。1662年，費馬(Fermat，P.de)從光總是依最快的路徑從一點傳播到另一點這一假設推導出光折射定律。這一假設現在稱為費馬原理。大約80年後，莫佩蒂(Maupertuis，P.-L.M.de，普魯士科學院院長)斷言，如果自然發生了什麼變化，那么對這一變化所付出的作用量必然是最小的。萊布尼茨對作用引進量綱是“能量×時間”，按照普朗克(Planck，M.)的量子原理(1900年)，這個量是基本量子h的整數倍。在莫佩蒂的著述中，作用原理含糊不清，不十分令人信服，受到伏爾泰(Voltaire)的無情嘲諷。這或許使得拉格朗日將1788年的“分析力學”建立在達朗貝爾原理的基礎上而非最小作用原理的基礎上，儘管他早在1760年對這一原理已有了相當明確的一般數學提法。很晚以後，哈密頓(Hamilton，W.R.)和雅可比才給這一原理以令人滿意的形式，大概是亥姆霍茲(Helmholtz，H.von)把它提高到最普遍的物理規律的行列。20世紀前半期，物理學家主要熱衷於用空間時間微分方程描述自然規律，現在最小作用原理又明顯回潮。
