完備測度空間

設(Ω,F,μ)是測度空間，如果(Ω,F,μ)中μ零集的子集都是可測集，則稱μ是完備測度，稱(Ω,F,μ)是完備測度空間。

簡介

完備測度

完備測度亦稱完全測度，是使得零集的任何子集都可測的那種測度。

設(Ω,F,μ)是測度空間，如果(Ω,F,μ)中μ零集的子集都是可測集，則稱μ是完備測度。

定義

如果μ是完備測度，則稱(Ω,F,μ)是完備測度空間。

實例

勒貝格測度空間(R,L,m)和勒貝格-斯蒂爾傑斯測度空間(R,L,m)都是完備的測度空間，而波萊爾測度空間(R,B,μ)是不完備的測度空間。

性質

完備測度具有一些良好性質：

1.若測度μ完備，則凡是μ幾乎處處相等的函式，或者都可測，或者都不可測。

2.幾乎處處收斂的μ可測函式列的極限函式也是μ可測的。

對於不完備的測度，這些結論未必成立。