天文大地網平差
正文
為了消除天文大地網中各觀測值之間的幾何矛盾，按最小二乘法求定網中各幾何要素（角度、邊長、方位、坐標）的最佳估值和評定其精度所進行的平差計算。天文大地網是國家大地網中高等級的水平控制網，需要按嚴密方法進行整體平差，將平差所得的各幾何要素最佳估值作為固定值，據以平差以下的低級水平控制網。
觀測值的歸算 天文大地網平差預處理過程中的一個重要環節。天文大地網中的各幾何元素是橢球面上的元素，網的平差一般也是在橢球面上進行的。但是，天文大地網中的角度是在地面上以垂線方向(即重力方向)為基準進行觀測的。為了將其歸算到橢球面上，以橢球面法線方向為基準，需要加入垂線偏差改正。
天文大地網中實際測量的起始邊長度也要利用大地高程歸算到橢球面上。
觀測值的精度檢驗 天文大地網中起始邊長度和拉普拉斯方位角的測定精度很高，它們的觀測結果在平差中一般保持固定，作為起始數據。由於水平角的觀測誤差，一個橢球面三角形中三個角度的觀測值之和將不等於其理論值,即180°加上橢球面角超，由此產生三角形條件不符值；由一條起始邊長度出發，通過一系列三角形的角度觀測值所推算的另一條起始邊的長度，將不等於該邊由精密測距技術測量的長度，由此產生長度條件不符值；由一個大地方位角出發，通過若干個角度觀測值所推算的另一個大地方位角，將不等於由天文觀測結果加上垂線偏差改正所得的拉普拉斯方位角值，由此產生方位角條件不符值；此外還有其他的條件不符值。這些條件不符值統稱為觀測值之間的幾何矛盾。經過天文大地網平差求定各觀測值的最佳估值，使其滿足各種幾何條件，才能消除天文大地網中各觀測值之間的幾何矛盾。另一方面，根據各種條件不符值的大小、正負號及其分布規律，可以檢驗觀測值的精度，確定觀測值中是否存在系統誤差或粗差。一般來說，各種條件不符值的絕對值愈小，說明觀測值的精度愈高。若某些條件不符值非常大，則是參與計算這些條件不符值的有關觀測值含有粗差的象徵。
平差計算方法 觀測值L的估值表示成為L+V,其中V是一個微小改正數。L+V必須滿足天文大地網中所有的幾何關係，這是一個必要條件。滿足這一必要條件的V值一般有無限多組。最理想的情況是選取各觀測值的真誤差作為V，但事實上這是不可能的。根據最小二乘準則，在V的平方和為最小的條件下求定一組滿足天文大地網各幾何條件的V值，由這樣的V值算得的L+V，才是觀測值的最佳估值。由此也可以推算天文大地網各幾何元素的最佳估值，並評定其精度。
天文大地網平差，可採用條件平差法或間接平差法（又稱參數平差法）,也可採用這兩種方法的混合,即混合平差法。根據最小二乘法的解算步驟，首先是由條件方程組或誤差方程組列出法方程組，由法方程組的解算結果，獲得天文大地網中觀測量和參數的最佳估值。同一天文大地網的平差,所需要解算的法方程組的階數,因所採用的平差方法不同而異。在條件平差法和間接平差法中，法方程組的階數分別等於條件方程的個數和待定參數的個數。大規模法方程組的解算是一項非常費時的工作。因此，在電子計算機出現之前，天文大地網採用哪一種平差方法，主要視所需要解算的法方程組的階數而定。
運用電子計算機，可以自動地完成天文大地網平差的全部計算工作。只要輸入天文大地網的起始數據、原始觀測值和表示該網結構的信息，計算機就自動組成條件方程或誤差方程，自動組成和解算法方程，最後列印出全部平差結果。由於組成天文大地網條件方程的規律性取決於網的結構，而網的結構又有多種多樣，因而這種規律性也趨於複雜化。這種情況為電子計算機用於天文大地網平差帶來了一定的困難。反之，組成天文大地網誤差方程的規律性一般與網的結構關係不大。因此，天文大地網的平差，目前幾乎都是採用以間接平差法為主的混合平差法。
20世紀60年代初，由於電子計算機的記憶體儲量較小，天文大地網平差中法方程組或誤差方程組的解算一般採用疊代法。對於某些結構的天文大地網，這種解算方法存在著收斂緩慢或甚至不易收斂的缺點。從70年代開始，由於大容量電子計算機的出現，疊代法逐漸為直接解法所代替。但由於天文大地網平差中法方程組的階數很大，所需要的計算機容量十分可觀。因此，在採用直接解法時,一般採取分區或分塊的方法,即將整個天文大地網分成若干區，或將該網的全部法方程係數分成若干塊。首先各區或各塊分別獨立地進行解算，最後採用嚴密的方法將各區或各塊聯成一個整體，使其平差結果與不分區或不分塊時的整體解算結果一致。這樣就解決了電子計算機容量與天文大地網規模巨大之間的矛盾。
1982年完成的中國天文大地網平差，包括了全部一、二等國家大地網和部分三等國家大地網，參與整體平差的大地點達 5萬個。所採用的是以間接平差法為主的混合平差法。誤差方程總數約30萬個，待定未知量（即需要解算的法方程組的階數）約20萬個。整個天文大地網分成若干個區，每一區中採用間接平差法，然後利用分區線上對應元素恆等的條件將各區聯成一個整體。
由於電子計算機每運算一次都不可避免地帶有計算誤差，在解算階數達幾十萬的線性方程組時，計算誤差的影響是相當嚴重的。以中國天文大地網平差為例，在直接解算近20萬階的法方程組的過程中，由於計算誤差的影響，解算結果的精度大約損失 8位有效數字。若要保證解算結果具有3～4位有效數字的精度，所採用的計算機字長不得少於11～12位。因此，在天文大地網平差中，線性方程組的解算精度不僅取決於該方程組的性質和所採取的解算方法，而且還取決於所能提供的計算機的字長。
