多項式代數[高等代數分支]

多項式代數，是高等代數的一個分支。 在高等代數中，一次方程組（也稱為“線性方程組”）被發展成為線性代數理論；而二次以上的一元方程（也稱為“多項式方程”）被發展成為多項式理論。前者是向量空間、線性變換、型論、不變數論和張量代數等內容的一門高等代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門高等代數分支學科。

學科發展史

在高等代數中，一次方程組（也稱為“線性方程組”）發展成為線性代數理論；而二次以上的一元方程（也稱為“多項式方程”）發展成為多項式理論。前者是關於向量空間、線性變換、型論、不變數論和張量代數等內容的一門高等代數分支學科，而後者是研究只含有一個未知量的任意次方程的一門高等代數分支學科。沿著這兩個方向繼續發展，代數在討論任意多個未知數的一次方程組，同時還研究次數更高的一元方程。發展到這個階段，就叫做高等代數。高等代數是代數學發展到高級階段的總稱，它包括許多分支。現在大學裡開設的高等代數，一般包括兩部分：線性代數、多項式代數。

研究對象

多項式是一類最常見、最簡單的函式，它的套用非常廣泛。多項式理論是以多項式方程的根的計算和分布作為中心問題的。研究多項式理論，主要在於探討多項式方程的性質，從而尋找簡易的求解多項式方程的方法。

多項式代數所研究的內容，包括整除性理論、最大公因式、重因式、多項式求根等。多項式的整除性質對於解代數方程是很有用的。解多項式方程無非就是求對應多項式的零點，零點不存在的時候，所對應的多項式方程就沒有解。

整除理論

廣義的多項式代數，有時也包括了抽象代數的部分內容。

套用

多項式代數線上性代數中有廣泛的套用。尤其是關於行列式、特徵值、二次型的一些求解。包括，現在的一些優秀的線性代數教科書，附錄中都有關於多項式的內容。

另外，線性代數中的行列式，也可以被用來定義結式，從而更簡潔地定義判別式。

由此可見，雖然線性代數與多項式代數分屬高等代數的兩個分支，但是在數學研究中，它們往往是相輔相成、相互依賴的。