基本知識
相關知識
多元多項式
多元多項式
多元多項式設K是一個數域， 是幾個文字(也可稱為變數)， 是非負整數， ，稱
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式 多元多項式
多元多項式
多元多項式為一個 單項式(monomial)。某個指數 表示變數 不出現，當所有的指數全部等於0時，相應的單項式就是常數項 ， 稱為此單項式的 係數，當 ≠0時， 稱為此單項式的 次數，係數為0的單項式稱為 零單項式，簡記為0，零單項式的次數規定為 ，為了表示方便，常常把單項式(1)中各個字母的方冪看成一個n維向量
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式稱為這個單項式的 指數向量。並把單項式(1)簡記為 ，又把向量 的分量之和表為 ，於是有(假設 )
多元多項式
多元多項式顯然指數向量的分量都是非負整數，因此有 兩個單項式：
多元多項式
多元多項式 多元多項式
多元多項式
多元多項式如果滿足 就被稱為 同類項，也就是說， 與 是同類項若且唯若它們的指數向量相等，即 。
n元多項式的定義
有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)
多元多項式
多元多項式 多元多項式
多元多項式 多元多項式稱為 n元多項式，簡稱 多項式，n 元多項式 中非零單項式的最高次數稱為多項式 的 次數，記為 。只含零單項式的多項式稱為 零多項式，記為0，零多項式的次數規定為 ，例如若
多元多項式
多元多項式則 。
多元多項式有很多時候需要把多元多項式看成其中某一個變數，例如 的一元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式 多元多項式 多元多項式 多元多項式 多元多項式
多元多項式這裡的係數 都是多項式環 中的元素，我們把 作為某個變數 的一元多項式的次數稱為 關於 的次數，記為 。
和一元多項式一樣，對於n元多項式也可同樣地定義相等、相加、相減和相乘，例如當兩個單項式是同類項時，可以通過係數相加而合併成一項：
多元多項式兩個單項式相乘則是把指數向量相加，再把係數相乘:
多元多項式 多元多項式n元多項式的加法和乘法具有與一元多項式相同的性質，因此把數域K上所有以 為變數的n元多項式的集合記為
多元多項式並稱為數域K上的 n元多項式環。
多項式的排序問題
多元多項式
多元多項式現在我們要研究 單項式的排序問題，對於一元多項式，按各個項的次數來排列是最自然的，但是對於多元多項式，有相同次數的項不止一個，單按次數排列具有不確定性，所以有必要採用 字典排列法。為此首先在指數向量的集合內定義一個序：對於 ，如果存在 使得
多元多項式 多元多項式
多元多項式
多元多項式則稱 優於 ，記為 ，例如
多元多項式
多元多項式 多元多項式
多元多項式
多元多項式 多元多項式
多元多項式
多元多項式 多元多項式從這個定義立即可以看出，對於任意兩個不相等的指數向量 ，不是 就是 ，兩者必居其一。而且關係“ ”還具有傳遞性，即從 與 可以得出 ，這說明“ ”確實是指數向量集合的一個序，利用指數向量的序就可以定義單項式的序，即
多元多項式我們把這個序(包括指數向量的序以及單項式的序)稱為 字典序(lexicographicorder)。這樣就可以把多項式中的項按字典序排列，當n=1時這種排列法就是 降冪排列法，多項式中按字典排列法次序最前的非零項稱為此 多項式的首項。
相關性質
字 典排列法的首項有以下性質。
定理1
兩個非零多項式的乘積的首項等於這兩個多項式的首項的乘積。
多元多項式
多元多項式 多元多項式證明：設這兩個多項式是 ，它們的乘積是 ．設 的首項分別為
多元多項式它們的乘積等於
多元多項式
多元多項式
多元多項式 多元多項式乘積多項式h中的任意單項式的指數向量具有 的形式，其中， 分別是 中的單項式的指數向量，因此有
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式我們要證 ，並且等號成立若且唯若 。首先設 若 ，則一定存在i≤n使得
多元多項式於是
多元多項式
多元多項式
多元多項式
多元多項式即 。同理當 時有 因此
多元多項式 多元多項式 多元多項式
多元多項式而且只要 或 有一個成立，就有 這說明(2)式確是h的首項而且h中沒有同類項會和它相消。
推論2
兩個非零多項式的乘積仍是非零多項式。
