基本介紹
正實性概念，最初是在網路分析與綜合中提出來的，數學上的正實性的概念與物理上的無源網路的概念密切相關。由無源元件電阻、電感、電容以及變壓器等構成的網路．總是要從外界吸收能量的，因此，無源性表示了網路中能量的非負性，即無源網路不能自身產生能量，當這個網路中的所有元件都是線性時，其相應的傳遞函式就是正實的。隨著控制理論的發展，正實性的概念也被引進來，並且在穩定性理論和控制理論中，特別是在自適應控制系統的穩定性分析和系統辨識的收斂性分析中起了關鍵作用。
正實函式
嚴格正實函式
嚴格正實函式關於復變數的有理函式稱為 正實函式，如果：
(1) 當s為實數時，只要G(s)有定義，它就是實函式；
嚴格正實函式 嚴格正實函式
嚴格正實函式
嚴格正實函式(2) 對於所有的的s，(表示s位於包含虛軸在內的右半複平面，即)，只要G(s)有定義，就有。
嚴格正實函式
嚴格正實函式 嚴格正實函式關於復變數的有理函式稱為 嚴格正實函式，如果有：
(1)當s為實數時，只要G(s)有定義，它就是實函式；
(2)G(s)在右半閉平面上沒有極點；
嚴格正實函式
嚴格正實函式(3)，對於。
相關性質
嚴格正實函式當G(s)表示傳遞函式時，正實傳遞函式與嚴格正實傳遞函式之間的差別是：在嚴格正實情況下，不允許在Res=0(即虛軸上)有極點，並且對於所有的實ω，(而不是大於等於零)。
如果令正實函式G(s)表示一個n階單輸入-單輸出線性系統
嚴格正實函式那么，G(s)為嚴格正實的必要條件是：
(1)G(s)是嚴格穩定的(即它的所有極點都在左半開複平面內)；
嚴格正實函式(2)的Nyquist曲線完全在右半複平面內，也就是說，在正弦曲線輸入下，系統回響的相位移總是小於90°；
(3)G(s)的相對階n－m(也稱極點盈數，即系統的極點數與零點數之差)為0或1；
(4)G(s)具有嚴格最小相位(即它的所有零點都在左半開複平面內)。
嚴格正實函式矩陣
嚴格正實函式
嚴格正實函式復變數的實有理函式矩陣表示多輸入多輸出系統的傳遞函式矩陣，其正實性質是單變數正實傳遞函式的概念的推廣。為此首先介紹埃爾米特(Hermite)矩陣的定義及性質。
Hermite矩陣
嚴格正實函式 嚴格正實函式復變越的矩陣函式 為Hermite矩陣，如果
嚴格正實函式
嚴格正實函式也就是說它的共軛轉置矩陣等於它本身，式中星號表示共軛，即。
Hermite矩陣具有下列性質：
(1)Hermite矩陣是方陣，其對角元素為實；
(2)Hermite矩陣的特徵值必須為實；
嚴格正實函式 嚴格正實函式 嚴格正實函式 嚴格正實函式
嚴格正實函式(3)設 為Hermite矩陣， 為具有複數分量的向量， *為 的共軛復向量，則二次型恆為實。
嚴格正實函式 嚴格正實函式
嚴格正實函式 嚴格正實函式
嚴格正實函式若對於任意一個非零的復向量 ，都有>0，則稱 為正定的Hermite矩陣；若對於任意一個非零的復向量 ，都有，則稱G(s)為半正定的Hermite矩陣。
正實函式矩陣
嚴格正實函式 嚴格正實函式一個以復變數的實有理函式為元素的方陣 是正實函式矩陣，如果：
嚴格正實函式(1)在右半開平面Res>0上， 的每個元素都是解析的，即每個元素在Res>0上沒有極點；
嚴格正實函式(2)對於所有的Res>0的s，矩陣 便是半正定的Hermite矩陣。
嚴格正實函式矩陣
嚴格正實函式實有理函式方陣是嚴格正實函式矩陣。如果：
嚴格正實函式(1)往右半閉平面Res≥0上， 的每個元素都是解析的；
嚴格正實函式(2)對於所有的Res≥0的s，矩陣 便是半正定的Hermite矩陣 。
