定義
商集是集合論的基本概念之一，指由集合和該集合上的等價關係導出的集合。設～是非空集合A的一個等價關係，若把以A關於～的全部等價類作為元素組成一個新的集合B，則把集合B叫做A關於～的商集合，簡稱為商集.記作B=A/～.
特點
非空集合S關於它上面的任何等價關係R的商集具有下列特點：
S/R ≠ ∅；
若A∈S/R，則A ≠ ∅；
若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B = ∅.
1.S/R ≠ ∅；
2.若A∈S/R，則A ≠ ∅；
3.若A，B∈S/R，A≠B，則A∩B = ∅.
利用選擇公理，在S/R的每個元素A中取出一個元素a∈A，稱為等價類A的代表，而{a}稱為 商集的代表集。集S對它上面的不同的等價關係R和G有不同的商集，且滿足：
1.S/R=S/R；
2.S/E={{a}}，這裡E是恆等關係；
3.S/(S×S)={S}， 這裡S×S是全域關係；
4.若S/R={A}，S/G={B}，則
商集
商集且 其中某些項可能是空集。
舉例
例1 A={a,b,c,d,e,f}={某大學宿舍的大學生}；R是A上的同鄉關係（不難證明同鄉關係是等價關係），若a,b是北京人，c是廣東人，d,e,f南京人，則R={(a,a)(a,b)(b,a)(b,b)(c,c)(d,d)(d,e)(d,f)(e,d)(e,e)(e,f)(f,d)(f,e)(f,f)}.A中各元素關於R的等價類分別是：
[a]=[b]={a,b}；
[c]={c}；
[d]=[e]=[f]={d,e,f}；
A關於R的商集A/R={[a]R,[c]R,[d]R}={{a,b},{c},{d,e,f}}.
例2 A={(x，y) |-∞<x<+∞，-∞<y<+∞，xy≠0}是除去坐標軸的平面。可以驗證，～={ [(x1，y)，(x，y)] | x1x2>0，y1y2>0，(x1，y)∈A，(x2，y2)∈A}是A的等價關係，A關於～的等價類為A= [(1，1)]，A= [ (-1，1)]，A= [ (-1，-1)]，A=[(1，-1)]，顯然A，A，A，A就是直角坐標平面上的四個象限(如下圖)。這時A關於～的商集為：A/～= {A，A，A，A}.
直角坐標平面賦范線性空間的商空間
商集
商集設X是線性空間，Y是X的一個線性子空間。對x∈X，記 稱 是以x為代表元的等價類，於是得到 商集
商集
商集在 中規定
商集 商集 商集
商集易知這樣的線性運算是一意確定的，於是， 按這個線性運算稱為線性空間。在商空間 中，X的子空間Y被“縮”為零向量 .
商集例如，在L 空間中，記Y為幾乎處處等於零的函式全體，則對f∈L ， 就是與F幾乎處處相等的函式組成的等價類。
商集如果X為賦范線性空間，Y是X的線性閉子空間，對 規定
商集
商集 商集 商集 商集容易證明這樣定義的 是上的範數，即仍是賦范線性空間，而且，當X是Banach空間時，商空間也是Banach空間。
附錄
[ 二元關係]設A,B是集合，R是笛卡兒乘積AxB的子集，則稱R是A到B的一個二元關係，例如A={x,y},B={a,b},R={(x,a),(x,b),(y,a),(y,b)}.
[ 自反的二元關係]如果對於集合A的每一個元素a，都有(a,a)屬於二元關係R，則稱R為自反的二元關係。
[ 對稱的二元關係]如果每當(a,b)屬於R，就一定有(b,a)屬於R，則稱R是對稱的二元關係。
[ 傳遞的二元關係]如果每當有(a,b)、(b,c)均屬於R，必有(a,c)屬於R，則稱傳遞的二元關係。
[ 等價關係]R是A上的[二元關係]，如果R是自反的、對稱的、傳遞的二元關係，則稱R為A上的等價關係。
[ 等價類]設R是A的等價關係，a是A中的任意元素，由A中的所有與a相關的元素組成的集合，稱為a關於R的等價類。
