秩[線性代數術語]

秩是線性代數術語，線上性代數中，一個矩陣的列秩是 的線性無關的縱列的極大數目。類似地，行秩是 的線性無關的橫行的極大數目。 矩陣的列秩和行秩總是相等的，因此它們可以簡單地稱作矩陣 的秩。通常表示為 rk() 或 rank 。 × 矩陣的秩最大為 和 中的較小者。有儘可能大的秩的矩陣被稱為有滿秩；類似的，否則矩陣是秩不足的。

可替代的定義

用向量組的秩定義

向量組的秩：在一個 m維線性空間 E中，一個向量組的秩表示的是其生成的子空間的維度。考慮 m× n矩陣，將 A的秩定義為向量組 F的秩，則可以看到如此定義的 A的秩就是矩陣 A的線性無關縱列的極大數目，即 A的列空間的維度(列空間是由 A的縱列生成的 F的子空間)。因為列秩和行秩是相等的，我們也可以定義 A的秩為 A的行空間的維度。

用線性映射定義

考慮線性映射：

對於每個矩陣 A， f A都是一個線性映射，同時，對每個的 線性映射 f，都存在矩陣 A使得 f= f A。也就是說，映射

是一個同構映射。所以一個矩陣 A的秩還可定義為 f A的像的維度（像與核的討論參見線性映射）。矩陣 A稱為 f A的變換矩陣。這個定義的好處是適用於任何線性映射而不需要指定矩陣，因為每個線性映射有且僅有一個矩陣與其對應。秩還可以定義為 n減 f的核的維度；秩-零化度定理聲稱它等於 f的像的維度。

性質

我們假定 A是在域 F上的 m× n矩陣並描述了上述線性映射。

只有零矩陣有秩 0 A的秩最大為 min( m, n) f是單射，若且唯若 A有秩 n（在這種情況下，我們稱 A有“滿列秩”）。 f是滿射，若且唯若 A有秩 m（在這種情況下，我們稱 A有“滿行秩”）。在方塊矩陣 A（就是 m= n) 的情況下，則 A是可逆的，若且唯若 A有秩 n（也就是 A有滿秩）。如果 B是任何 n× k矩陣，則 AB的秩最大為 A的秩和 B的秩的小者。即：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B)) 推廣到若干個矩陣的情況，就是：秩（A1A2...Am)≤min（秩（A1），秩（A2），...秩（Am)) 證明：考慮矩陣的秩的線性映射的定義，令A、B對應的線性映射分別為 f和 g，則秩（AB)表示複合映射 f·g，它的象 Im f·g是 g的像 Im g在映射 f作用下的象。然而 Im g是整個空間的一部分，因此它在映射 f作用下的象也是整個空間在映射 f作用下的象的一部分。也就是說映射 Im f·g是 Im f的一部分。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（A）。對於另一個不等式：秩（AB）≤秩（B），考慮 Im g的一組基：（e1，e2，...，en），容易證明（f(e1），f(e2），...，f(en））生成了空間 Im f·g，於是 Im f·g的維度小於等於 Im g的維度。對矩陣就是：秩（AB）≤秩（B）。因此有：秩（AB）≤min（秩（A），秩（B））。若干個矩陣的情況證明類似。作為 "<" 情況的一個例子，考慮積 兩個因子都有秩 1，而這個積有秩 0。可以看出，等號成立若且唯若其中一個矩陣（比如說 A）對應的線性映射不減少空間的維度，即是單射，這時 A是滿秩的。於是有以下性質：如果 B是秩 n的 n× k矩陣，則 AB有同 A一樣的秩。如果 C是秩 m的 l× m矩陣，則 CA有同 A一樣的秩。 A的秩等於 r，若且唯若存在一個可逆 m× m矩陣 X和一個可逆的 n× n矩陣 Y使得 這裡的 I r指示 r× r單位矩陣。證明可以通過高斯消去法構造性地給出。

矩陣的秩加上矩陣的零化度等於矩陣的縱列數（這就是秩-零化度定理）。

計算

計算矩陣 A的秩的最容易的方式是高斯消去法。高斯算法生成的 A的行梯陣形式有同 A一樣的秩，它的秩就是非零行的數目。

例如考慮 4 × 4 矩陣

我們看到第 2 縱列是第 1 縱列的兩倍，而第 4 縱列等於第 1 和第 3 縱列的總和。第1 和第 3 縱列是線性無關的，所以 A的秩是 2。這可以用高斯算法驗證。它生成下列 A的行梯陣形式：

它有兩個非零的橫行。

在套用在計算機上的浮點數的時候，基本高斯消去（LU分解）可能是不穩定的，應當使用秩啟示（revealing）分解。一個有效的替代者是奇異值分解(SVD），但還有更少代價的選擇，比如有支點（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在數值上更強壯。秩的數值判定要求對一個值比如來自 SVD 的一個奇異值是否為零的依據，實際選擇依賴於矩陣和套用二者。

套用

計算矩陣的秩的一個有用套用是計算線性方程組解的數目。如果係數矩陣的秩等於增廣矩陣的秩，則方程組有解。在這種情況下，如果它的秩等於方程（未知數）的數目，則方程有唯一解；如果秩小於未知數個數，則有無窮多個解。

在控制論中，矩陣的秩可以用來確定線性系統是否為可控制的，或可觀察的。