簡介
勒貝格可測函式簡稱(L)可測函式,是比連續函式更廣的一類函式。
設f(x)是定義在(L)可測集E⊂R 上的擴充實值函式。若對任意實數α,點集{x∈E|f(x)>α}是(L)可測集,則稱f(x)是可測函式。在這個定義中,不等式f(x)≥α,f(x)<α,f(x)≤α中對任何一個來代替。
範圍
定義在(L)零測度集上的任何實值函式以及區間上的半連續函式都是(L)可測函式。
定義在(L)可測集上的任何連續函式都是(L)可測函式,但可測函式不一定連續。
性質
勒貝格可測函式的主要性質有:
1、若f(x)與g(x)在E上(L)可測,且在E上幾乎處處取有限值,則它們的和、差、積、商(分母不為零)均(L)可測;
2、若{f(x)}是E上的(L)可測函式列,則下列函式都是E上的(L)可測函式:
3、若{f(x)}是E上的(L)可測函式列,且以f(x)為極限,則f(x)在E上也(L)可測;
4、若f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等,則它們或都(L)可測,或都(L)不可測;
5、若f(x)在E上(L)可測,又E為E的(L)可測子集,則f(x)在E上也(L)可測;
6、若f(x)在每個E上都(L)可測,則f(x)在和上也(L)可測;
7、在可測集E上定義的函式可測的充分必要條件是,它可以表示成簡單函式列的極限。