勒貝格可測函式

勒貝格可測函式簡稱(L)可測函式,是比連續函式更廣的一類函式。定義在(L)零測度集上的任何實值函式以及區間上的半連續函式都是(L)可測函式。定義在(L)可測集上的任何連續函式都是(L)可測函式。

簡介

勒貝格可測函式簡稱(L)可測函式,是比連續函式更廣的一類函式。

設f(x)是定義在(L)可測集E⊂R 上的擴充實值函式。若對任意實數α,點集{x∈E|f(x)>α}是(L)可測集,則稱f(x)是可測函式。在這個定義中,不等式f(x)≥α,f(x)<α,f(x)≤α中對任何一個來代替。

範圍

定義在(L)零測度集上的任何實值函式以及區間上的半連續函式都是(L)可測函式。

定義在(L)可測集上的任何連續函式都是(L)可測函式,但可測函式不一定連續。

性質

勒貝格可測函式的主要性質有:

1、若f(x)與g(x)在E上(L)可測,且在E上幾乎處處取有限值,則它們的和、差、積、商(分母不為零)均(L)可測;

勒貝格可測函式 勒貝格可測函式

2、若{f(x)}是E上的(L)可測函式列,則下列函式都是E上的(L)可測函式:

3、若{f(x)}是E上的(L)可測函式列,且以f(x)為極限,則f(x)在E上也(L)可測;

4、若f(x)與g(x)在E上幾乎處處相等,則它們或都(L)可測,或都(L)不可測;

5、若f(x)在E上(L)可測,又E為E的(L)可測子集,則f(x)在E上也(L)可測;

勒貝格可測函式 勒貝格可測函式
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6、若f(x)在每個E上都(L)可測,則f(x)在和上也(L)可測;

7、在可測集E上定義的函式可測的充分必要條件是,它可以表示成簡單函式列的極限。

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