簡介
在數學中，勒讓德函式P，Q和相關的勒讓德函式P，Q是勒讓德多項式與非整數度的泛化。
微分方程
相關的勒讓德函式是勒讓德方程的解
勒讓德函式其中複數λ和μ分別稱為相關的勒讓德函式的度數和順序。 勒讓德多項式是階數μ= 0的勒讓德函式。
這是一個具有三個常規奇異點（在1，-1和∞）的二階線性方程。 像所有這樣的等式，它可以通過變數的變化被轉換為超幾何微分方程，並且其解可以用超幾何函式來表示。
公式
這些功能實際上可以用於一般複雜參數和參數：
勒讓德函式
勒讓德函式分母中包含伽馬函式，F是超幾何函式。
二階微分方程具有第二個解，其定義為Q（z）。
勒讓德P和Q函式之間有用的關係是Whipple的公式。
積分表示
勒讓德函式可以寫成輪廓積分。 例如，
勒讓德函式其中輪廓沿正方向繞著點1和z旋轉，並且不繞-1。 對於真正的x，我們有
勒讓德函式
勒讓德函式勒讓德功能為字元
P的真實積分表示在L（G / / K）其中 G // K是SL（2，R）的雙陪集空間（見區域球面 功能）。 實際上，L（G / / K）上的傅立葉變換由
勒讓德函式其中，
勒讓德函式勒讓德多項式
勒讓德多項式是下列勒讓德微分方程的多項式解：
其中n 為正整數。
生成函式
勒讓德多項式的生產函式為
勒讓德函式前幾個勒讓德多項式：
勒讓德函式正交關係
勒讓德多項式在（-1,1）取決滿足如下的正交關係式：
勒讓德函式第一類勒讓德函式
勒讓德函式其中F為超幾何函式，v非整數。如v為整數，則解為勒讓德多項式
第一類勒讓德函式2D圖
第一類勒讓德函式3D圖第二類勒讓德函式
勒讓德函式
第二類勒讓德函式2D圖
第二類勒讓德函式3D 圖