函式的最大值

函式的最大值(maximum of a function)亦稱函式的絕對極大值或整體極大值.函式值所能取到的最大者。

.對函式f:A->R，若存在aEA，使對所有xEA，有.fix)<.f}a)，則f稱為在A上存在最大值(嚴格最大值)，或f在a處達到最大值(嚴格最大值)f(a),a是f的最大值點(嚴格最大值點).若上述不等號反向，則得到最小值與嚴格最小值的定義.最大值、最小值統稱絕對極值或整體極值.函式的最大(小)值如果存在，必是惟一的，但相應的最大(小)值點不一定惟一在R”的有界閉集上連續的函式必有最大值與最小值.這是判斷一個函式是否有絕對極值的主要依據.為了求最大、最小值，基本的方法是:先確定它們的存在性，然後比較函式在駐點，定義域端點或邊界點、不可微點處的函式值，其中最大(小)的就是最大(小)值.在許多套用問題中，最大值與最小值的存在性往往可以由具體問題的背景確定.最早用微分學方法求最大、最小值的是費馬( Fermat , P. de ).他發現了現在稱為費馬定理的極值必要條件(不是現在的形式)，並認定函式在駐點達到最大或最小值.極值問題一直是數學家關心的問題，有幾個數學學科研究更複雜的極值問題，例如凸分析、數學規劃、變分學等.