基本概念
凸多面角
凸多面角
凸多面角多面角(polyhedral angle)又稱“立體角”，過平面外一點O向平面內的簡單多邊形的頂點引射線，所有相鄰射線所夾的平面部分圍成的立體圖形，稱為 多面角。點O稱為多面角的“頂點”，射線稱為“ 棱”，相鄰兩棱所夾的角稱為“ 面角”，相鄰兩棱所夾的平面部分稱為“ 側面”，多面角按照它的側面數目分別稱為 三面角、 四面角等等。如果所給的多邊形是凸的，則相應多面角稱為 凸多面角；否則稱為 凹多面角。凸多面角的面角和小於四個直角，多面角每相鄰兩個面間的二面角稱為 多面角的二面 角，凸多面角各二面角之和大於( )直角，而小於 直角( 表示棱數)。
圖1兩個多面角的各面角對應相等，並且各二面角也對應相等，則稱這兩個多面角為 全等多面角，各面角相等，並且各二面角也相等的凸多面角稱為 正多面角。
性質定理
定理1
凸n面角各面角的平面角之和小於360°。
定理2
凸多面角
凸多面角凸n面角各二面角的平面角之和大於 且小於 。
凸多面角 凸多面角
凸多面角 凸多面角證明 如圖2，設 是凸n面角，在其內部作一射線OP，則把凸n面角 分割成n個三面角 ，設凸n面角 的二面角的平面角之和是S，由相關定理得
凸多面角 凸多面角
凸多面角而凸n面角 的每個二面角的平面角都小於 ，所以
凸多面角由此得
凸多面角
圖2定理3
凸多面角的其中一個面角小於其餘面角的和。
凸多面角證明 設這個凸多面角是 ，則
凸多面角
凸多面角
凸多面角
凸多面角所以
凸多面角其餘角的情況同理可證。
定理4
n(n是整數，n≥3)個角滿足這些角的和小於360°且任意一角小於其他角的和，則以這些角為面角能構成凸n面角的面角。
推論1
給定凸n(n是整數，n≥4)面角的各個面角，則滿足條件的凸n面角有無數種。
由定理3及定理4立即得定理5。
定理5
n(n是整數，n≥3)個角能構成凸n面角的面角的充要條件是這些角的和小於360°且任意一角小於其他角的和。
定理6
凸多面角
凸多面角從正多面角 的各棱截取n個點 ，使其滿足
凸多面角 凸多面角
凸多面角那么點 共面，並且多邊形 是正n邊形；
凸多面角 凸多面角並且正n邊形 的中心與點O的連線垂直於平面 。
定理7
如果兩個正多面角的棱數和面角都相等，那么這兩個正多面角全等。
例題解析
凸多面角
凸多面角 凸多面角 凸多面角正n面角的面角等於 ，二面角等於 ，求 與 的關係。
圖3 凸多面角 凸多面角
凸多面角解：如圖3，從正多面角 的各棱截取n點 ，使 ，則
凸多面角所以
凸多面角由於
凸多面角所以
凸多面角