概念
多胞形是一類特殊的凸多面體。一個多胞形就是一個內部非空的緊凸多面體。當dim X=2時，一般不稱多胞形，而稱之為多邊形。例如，平行六面體。若(x)是一個單形，則平行六面體：
多胞形是一個多胞形；又如，實心單形：
多胞形也是一個多胞形。
凸多面體
凸多面體亦稱歐拉多面體。一種簡單多面體。即整個多面體都在其任何一個面所在平面同側的多面體。凸多面體的任何一個面延展都不會通過它的內部。凸多面體內部或界面上任何兩點所連的線段都在凸多面體內或界面上.一個多面體是凸多面體的充分必要條件是它的每個多面角是凸多面角。凸多面體是簡單多面體，不是凸多面體的簡單多面體稱凹多面體。
凸多面體的主要性質有：
1.凸多面體的面必為凸多邊形。
2.凸多面體的多面角必為凸多面角。
3.直線與凸多面體的面的交點，最多只有兩個(直線段在多面體的面內的情形除外)。
多面體
由若干個平面多邊形圍成的幾何體叫做多面體。圍成多面體的多邊形叫做多面體的面。兩個面的公共邊叫做多面體的棱。若干條棱的公共頂點叫做多面體的頂點。把多面體的任何一個面伸展，如果其他各面都在這個平面的同側，就稱這個多面體為凸多面體。多面體至少有4個面。多面體依面數分別叫做四面體、五面體、六面體等等。把一個多面體的面數記作F，頂點數記作V，棱數記作E，則F、E、V滿足如下關係：F+V=E+2
這就是關於多面體面數、頂點數和棱數的歐拉定理，每個面都是全等的正多邊形的多面體叫做正多面體。每面都是正三角形的正多面體有正四面體、正八面體和正二十面體。每面都是正方形的多面體只有正六面體即正方體，每面都是正五邊形的只有正十二面體。由歐拉定理可知一共只有這5種正多面體。
有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，並且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的多面體叫做稜柱(如圖1)。兩個互相平行的面叫稜柱的底面，其餘各面叫稜柱的側面，兩個側面的公共邊叫做稜柱的側棱，側面與底面的公共頂點叫做稜柱的頂點。不在同一個面上的兩個頂點的連線叫稜柱的對角線。兩個底面間的距離叫做稜柱的高。側棱不垂直於底面的稜柱叫做斜稜柱。側棱垂直於底面的稜柱叫做直稜柱。底面是正多邊形的直稜柱叫做正稜柱。底面是三角形、四邊形、五邊形……的稜柱分別叫做三稜柱、四稜柱、五稜柱……。容易看出稜柱的側棱的長都相等，側面都是平行四邊形。兩個底面與平行於底面的截面是全等的多邊形。過不相鄰的兩條側棱的截面是平行四邊形。直稜柱的側棱長與高相等，側面及經過不相鄰的兩條側棱的截面都是矩形。底面是平行四邊形的四稜柱叫做平行六面體。底面是矩形的直平行六面體叫做長方體。棱長都相等的長方體叫做正方體。易見長方體的一條對角線的長的平方等於一個頂點上3條棱長的平方和，稱垂直於側棱並與每條側棱都相交的截面為稜柱的直截面。斜稜柱的側面積等於它的直截面的周長與側棱長的乘積。直稜柱的底面是直截面，因此直稜柱的側面積等於它的底面的周長與一條側棱長的乘積。稜柱的體積等於它的底面積與高的乘積。
