伸縮進退法作圖:在某些要求圓和圓、圓和直線相切的幾何作圖題中，將圖形的相 -百科知識中文網

基本介紹

為更好地理解這種作圖方法，我們首先給出膨脹變換的定義。

假設OA是已知圓⊙O(r)的半徑(圖1)，今作一同心圓，使它的半徑恰好等於OA加上或減去(加與減指定其一)確定的一段AA'，則所作的圓是一個確定的圓，像這般由已知圓⊙O(OA)變為一個確定的同心圓⊙O(OA')的變換，叫做 膨脹變換，其中線段AA'的長度a叫做 膨脹參數，在初等幾何學裡，一般都視圓的半徑和膨脹參數是正值，這樣一來，上述的膨脹變換便受到一定的局限性，以後為使膨脹變換普遍適用，我們約定(圖2)：當a大於已知圓的半徑r時，⊙O(r)變為⊙O(|r- a|)的變換也看做是膨脹變換；特別地，當a = r即⊙O(|r-a|)成為點圓時，我們仍然一體看待。

若對相切兩圓⊙O(r)和⊙O'(r' )施行膨脹變換(圖3、4)，使⊙O(r)，⊙O'(r')分別變為⊙O(|r±a|)、⊙O'(|r'±a|)，但其中雙號當原來兩圓外切時應一取正號一取負號，內切時同取正號或負號，那么所得兩圓仍然保持相切的性質，這個不變性對於相切圓的研究具有莫大的價值，因為它往往可以把某些問題化得簡單一些。

除上述特性外，隨同膨脹變換的還有圓的切線隨著變換而進退，其進退的距離恰等於所選的膨脹參數，這些事理對作圖特別有用在中學課本上，關於兩圓公切線的作圖就是套用膨脹變換的原理而設計的。

套用膨脹變換的原理以解題，叫做 伸縮進退法。此法一般適用於有關圓和圓以及圓和直線相切的問題。

例題解析

【例1】求作一圓，使切於一個已知圓和兩條已知真線。

設定 ⊙P(R)和兩條直線a,b(圖5)。

求作 ⊙O，使切於⊙P和兩直線a,b。

分析假設⊙O已作得，它的半徑為r。現在我們對⊙P(R)和⊙O(r)施行膨脹變換，使⊙P(R)變為點圓——點P，而⊙O(r)變為過P的一同心圓h，k的半徑等於R + r或|R-r|，視⊙P(R)與⊙O(r)外切或內切而定。在施行膨脹變換的同時， ⊙O(r)的切線a，b要隨著進退到離開原來位置等於R那樣遠的地方，臂如說，a進到a， b進到b。這樣一來，k實際就是通過已知點P且切於確定的兩直線a，b的圓，所以k有法求得，k既得，所求圓自然易於作出了。

作圖作兩直線a，a同平行於a且令與a的距離都等於R；又作兩直線b，b同平行於b且令與b的距高都等於R。在所作的直線里，任選出兩條a，b(i，j = 1，2)來，然後作圓k使切於這兩條直線且通過點P。命k的圓心為O，若O與a，b有等距r，則⊙O(r)即是所求圓。

證明據作圖，除已知⊙O(r)已和直線a，b相切外，又因k通辻點P且切於a,b兩直線，得知OP= R+r或|R-r|，可見⊙O(r)又與⊙P(R)相切，所以⊙O(r)合條件。