幾何空間
空間的概念復我們來說是熟悉的。我們生活的空間是包含在上下、前後、左右之中的。如果需要描述我們所處的空間中的某一位置，就需要用三個方向來表示，這個意思也就是說空間是“三維”的。
在數學中經常用到“空間”這個概念，它指的範圍很廣，一般指某種對象（現象、狀況、圖形、函式等）的任意集合，只要其中說明了“距離”或“鄰域”的概念就可以了。而所謂“維”的概念，如果我們所談到的只是簡單的幾何圖形，如點、線、三角形和多邊形……，那么理解維的概念並不困難：點的維數是零；一條線段的維數是一；一個三角形的維數是二；一個立方體內所有點的集合的是三維的。
如果把維度的概念擴充到任意點集合上去的時候，維的概念就不那么容易理解了。比如，什麼是四維空間呢？關於四維空間，我國古代有一些說法是很有意思的。最典型的就是對於“宇宙”兩字的解釋，古人的說法是“四方上下曰宇，古往今來曰宙”，用現在的話說就是，四維空間是在三維空間的基礎上再加上時間維作為並列的第四個坐標。
愛因斯坦認為每一瞬間三維空間中的所有實物在占有一定的位置就是四維的。比如我們所住的房子，就是由長度、寬度、高度、和時間制約的。所謂時間制約就是從蓋房的時候算起，直到最後房子倒塌為止。
根據上邊的說法，幾何學和其它科學研究的 n維空間的概念，就可以理解成由空間的點的 n個坐標決定。這個空間的圖形就定義成滿足這個或那個條件的點的軌跡。一般來說，某個圖形由 n個條件給出，那么這個圖形就是某個 n維的點。至於這個圖形到底是什麼形象，我們是否能想像得出來，對數學來說是無關緊要的。
幾何學中的“維”的概念，實際上就是構成空間的基本元素，也就是點的活動的自由度，或者說是點的坐標。所謂 n維空間，經常是用來表示超出通常的幾何直觀範圍的數學概念的一種幾何語言。
從上面的介紹可以看出，幾何中的元素可用代數中的是數來表示，代數問題如果通過幾何的語言給與直觀的描述，有時候可以給代數問題提示適當的解法。比如解三元一次方程組，就可以認為是求解三個平面的交點問題。
代數幾何學的內容
用代數的方法研究幾何的思想，在繼出現解析幾何之後，又發展為幾何學的另一個分支，這就是代數幾何。代數幾何學研究的對象是平面的代數曲線、空間的代數曲線和代數曲面。
代數幾何學的興起，主要是源於求解一般的多項式方程組，開展了由這種方程組的解答所構成的空間，也就是所謂代數簇的研究。解析幾何學的出發點是引進了坐標系來表示點的位置，同樣，對於任何一種代數簇也可以引進坐標，因此，坐標法就成為研究代數幾何學的一個有力的工具。
代數幾何的研究是從19世紀上半葉關於三次或更高次的平面曲線的研究開始的。例如，阿貝爾在關於橢圓積分的研究中，發現了橢圓函式的雙周期性，從而奠定了橢圓曲線理論基礎。
黎曼1857年引入並發展了代數函式論，從而使代數曲線的研究獲得了一個關鍵性的突破。黎曼把他的函式定義在複數平面的某種多層復迭平面上，從而引入了所謂黎曼曲面的概念。運用這個概念，黎曼定義了代數曲線的一個最重要的數值不變數：虧格。這也是代數幾何歷史上出現的第一個絕對不變數。
在黎曼之後，德國數學家諾特等人用幾何方法獲得了代數曲線的許多深刻的性質。諾特還對代數曲面的性質進行了研究。他的成果給以後義大利學派的工作建立了基礎。
從19世紀末開始，出現了以卡斯特爾諾沃、恩里奎斯和塞維里為代表的義大利學派以及以龐加萊、皮卡和萊夫謝茨為代表的法國學派。他們對複數域上的低維代數簇的分類作了許多非常重要的工作，特別是建立了被認為是代數幾何中最漂亮的理論之一的代數曲面分類理論。但是由於早期的代數幾何研究缺乏一個嚴格的理論基礎，這些工作中存在不少漏洞和錯誤，其中個別漏洞直到目前還沒有得到彌補。
20世紀以來代數幾何最重要的進展之一是它在最一般情形下的理論基礎的建立。20世紀30年代，扎里斯基和范·德·瓦爾登等首先在代數幾何研究中引進了交換代數的方法。在此基礎上，韋伊在40年代利用抽象代數的方法建立了抽象域上的代數幾何理論，然後20世紀50年代中期，法國數學家塞爾把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這個為格羅騰迪克隨後建立概型理論奠定了基礎。概型理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。
代數幾何學中要證明的定理多半是純幾何的，在論證中雖然使用坐標法，但是採用坐標法多建立在射影坐標系的基礎上。
在解析幾何中，主要是研究一次曲線和曲面、二次曲線和曲面。而在代數幾何中主要是研究三次、四次的曲線和曲面以及它們的分類，繼而過渡到研究任意的代數流形。
代數幾何與數學的許多分支學科有著廣泛的聯繫，如數論、解析幾何、微分幾何、交換代數、代數群、拓撲學等。代數幾何的發展和這些學科的發展起著相互促進的作用。同時，作為一門理論學科，代數幾何的套用前景也開始受到人們的注意，其中的一個顯著的例子是代數幾何在控制論中的套用。
近年來，人們在現代粒子物理的最新的超弦理論中已廣泛套用代數幾何工具，這預示著抽象的代數幾何學將對現代物理學的發展發揮重要的作用。
