上同調函子

上同調函子是一種重要的函子,指由上復形的範疇到模範疇的函子。範疇A-Cocomp,它的對象是環 A 上所有上復形,態射是復形的平移,把這個範疇稱為上復形的範疇,它是一個阿貝爾範疇。

簡介

上同調函子是一種重要的函子,指由上復形的範疇到模範疇的函子。範疇A-Cocomp,它的對象是環 A 上所有上復形,態射是復形的平移,把這個範疇稱為上復形的範疇,它是一個阿貝爾範疇。

上同調函子 上同調函子

設 (X,d),(X',d') 是環 A 上的上復形, f:X→X' 是上復形的平移,上同調函子 ,它將上復形 X 變成上同調模

上同調函子 上同調函子

同時上復形的平移 f 變成

上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子

同調函子

上同調函子H 是加性共變函子。對偶地,環 A 上所有復形和復形的平移組成一個範疇,稱為復形的範疇,記為 A-Comp ,函子 H :A-Comp→μ稱為同調函子。

上同調模

(cohomology modules)

上同調模是一種重要的模,指由上復形給出的模。

設:

上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子

是環A上的復形,因為dd=0,所以,於是為A模,稱此模為上復形X的上同調模。

上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子
上同調函子 上同調函子

分別以來表示,把的元素分別稱為上鏈、上循環、上邊緣、上同調類。若X是環A上的復形,則對偶地可以定義復形X的同調模H(X)=ker d/Im d,把X,Z,B,H的元素分別稱為鏈、循環、邊緣、同調類。

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