簡介
三等分角問題(trisection of an angle)是二千四百年前，古希臘人提出的幾何三大作圖問題之一，即：用圓規與直尺把一任意角三等分。問題的難處在於作圖使用工具的限制。古希臘人要求幾何作圖只許使用直尺(沒有刻度，只能作直線的尺)和圓規。這問題曾吸引著許多人去研究，但都無一成功。1837年凡齊爾(1814-1848)運用代數方法證明了，這是一個標尺作圖的不可能問題。阿基米德直尺三分角法
作圖：
1．設任意銳角aob；
2．以O為圓心，作圓O，∠AOB與圓相交於A，B點；
3．延長BO，到相當遠處；
4．將一直尺與圓O相交，一點為A，另一點為P；
5．同時，直尺和BO的延長線交於C點；
6．適當的調整直尺的位置，使PC=AO；
7．連AC，則∠ACB=（1/3）∠AOB。
證明：可利用三角形外角等於不相鄰的兩內角和的關係來證；（略）
說明：此法雖不符正規的尺規作圖，但對實際工作中三分角，提供了一個方便又正確的極好手段。
莫萊定理
莫萊定理 三角形內角三等分線相鄰兩線的交點是正三角形的頂點．
莫萊定理上述定理是由美籍英國數學家富蘭克·莫萊（F·Morley，1860——1937）於1899年提出的一條著明定理，該定理的條件和結論都是十分對稱的，真可謂美妙至極。數學家奧克萊評論說：“這是數學中最令人吃驚而又全然意外的定理之一，如同明珠一般，鮮有能與之匹敵者”；另一位數學家可克特則稱它“是初等幾何中最驚人的定理之一”。為敘述方便起見，莫萊定理可稱之為“內三分角定理”，對此本文不再贅述，下面專門介紹其姊妹定理“外三分角定理”（或許是現在才發現的），及與之孿生的“四點共線定理”。
外三分角定理 三角形外角三等分線相鄰兩線的交點是正三角形的頂點。
莫萊定理內、外三分角兩姊妹定理合併可稱之為“三分角定理”具體敘述如下：
三角形內、外角三等分線相鄰兩線的交點是兩正三角形頂點；且內角與不相鄰外角相應兩三等分線的交點同外角三等分線正三角形頂點對應四點共三線。
莫萊定理圖中，⊙O 內接 △ABC，AE和AG、BF和BE、CG和CF分別是∠A、∠B、∠C的內角三等分線，AB1 和AC1 BC1 和BA1、CA 1 和CB1 分別是∠A、∠B、∠C的外角三等分線，它們相應的交點分別為E、F、G、A1、B1 、C1、A’、B’、C’、A” 、B” 、C” ；則必有△EFG、△ABC是兩正三形．並且點 A”、A1、B1 和B’，點B”、 B1、C1和C’，點C”、C1、A1 和A’分別四點共線．
