伯努利方程[伯努利原理]:丹尼爾·伯努利在1726年提出了“伯努利原理” -百科知識中文網

方程式

原表達形式

適於理想流體（不存在摩擦阻力）。式中各項分別表示單位流體的動能、位能、靜壓能之差。

假設條件

使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。
定常流：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。
不可壓縮流：密度為常數，在流體為氣體適用於馬赫數(Ma)<0.3。
無摩擦流：摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應。
流體沿著流線流動：流體元素沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。

流體力學中的物理方程

理想正壓流體在有勢體積力作用下作定常運動時，運動方程（即歐拉方程）沿流線積分而得到的表達運動流體機械能守恆的方程。因著名的瑞士科學家D.伯努利於1738年提出而得名。對於重力場中的不可壓縮均質流體，方程為p+ρgh+(1/2)*ρv^2=c　式中p、ρ、v分別為流體的壓強、密度和速度；h為鉛垂高度；g為重力加速度；c為常量。上式各項分別表示單位體積流體的壓力能 p、重力勢能ρgh和動能(1/2)*ρv ^2，在沿流線運動過程中，總和保持不變，即總能量守恆。但各流線之間總能量（即上式中的常量值）可能不同。對於氣體，可忽略重力，方程簡化為p+(1/2)*ρv ^2=常量(p0)，各項分別稱為靜壓、動壓和總壓。顯然，流動中速度增大，壓強就減小；速度減小，壓強就增大；速度降為零，壓強就達到最大(理論上應等於總壓)。飛機機翼產生舉力，就在於下翼面速度低而壓強大，上翼面速度高而壓強小，因而合力向上。據此方程，測量流體的總壓、靜壓即可求得速度，成為皮托管測速的原理。在無鏇流動中，也可利用無鏇條件積分歐拉方程而得到相同的結果但涵義不同，此時公式中的常量在全流場不變，表示各流線上流體有相同的總能量，方程適用於全流場任意兩點之間。在粘性流動中，粘性摩擦力消耗機械能而產生熱，機械能不守恆，推廣使用伯努利方程時，應加進機械能損失項。
圖為驗證伯努利方程的空氣動力實驗。
補充：p1+[ρ(v1)^2]/2+ρgh1=p2+[ρ(v2)^2]/2+ρgh2（1）
p+ρgh+(1/2)*ρv^2=常量（2）
均為伯努利方程
其中ρv^2/2項與流速有關，稱為動壓強，而p和ρgh稱為靜壓強。
伯努利方程揭示流體在重力場中流動時的能量守恆。
由伯努利方程可以看出，流速高處壓力低，流速低處壓力高。

套用要點

套用伯努利方程解決實際問題的一般方法可歸納為：
1.先選取適當的基準水平面；
2.選取兩個計算截面，一個設在所求參數的截面上，另一個設在已知參數的截面上；
3.按照液體流動的方向列出伯努利方程。

舉例

圖II.4-3為一噴油器，已知進口和出口直徑D1=8mm，喉部直徑D2=7.4mm，進口空氣壓力p1=0.5MPa，進口空氣溫度T1=300K，通過噴油器的空氣流量qa=500L/min（ANR），油杯內油的密度ρ=800kg/m。問油杯內油麵比喉部低多少就不能將油吸入管內進行噴油？
解：
由氣體狀態方程，知進口空氣密度ρ=（p1+Patm)*M/(RT1）=（0.5+0.1）*29/（0.0083*300）kg/m=6.97kg/m
求通過噴油器的質量流量
qm=ρa*qa=(1.185*500*10^-3)/60=0.009875kg/s
求截面積1和截面積2處的平均流速：
u1=qm/(ρ1A1)=[0.009875/(6.97*0.785*0.008^2)]m/s=28.2m/s
u2=qm/(ρ2A2)=[0.009875/(6.97*0.785*0.0074)]m/s=32.9m/s
由伯努利方程可得
p1-p2=0.5*ρ1(u2^2-u1^2)=0.5*6.97(32.9^2-28.2^2)pa=1200.94pa
吸油管內為靜止油液，若能吸入喉部，必須滿足：
p1-p2≥ρgh
h≤(p1-p2)/ρg=1200.94/(800*9.8)m=0.153m
故
說明油杯內油麵比喉部低153mm以上便不能噴油。

伯努利方程[伯努利原理]

基本信息

方程式

原表達形式

假設條件

流體力學中的物理方程

套用要點

舉例

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