n維區間:基本介紹設(a，b)，[a，b](i=1，2，…，n;a，b∈ -百科知識中文網

基本介紹

設(a，b)，[a，b](i=1，2，…，n;a，b∈R*)是R*中的區間，積集：

(a，b)與 [a，b]

即n維空間中的集{x=(x，x₂，…，x)|a<x<b，i=1，2，…，n}與{x=(x₁，x₂，…，x)|a≤x≤b，i=1，2，…，n}分別稱為 n維開區間與 n維閉區間。

記為(a，b)與[a，b]，其中a=(a，a，…，a)，b=(b，b，…，b)，(a，b)([a，b])稱為(a，b)([a，b])的支區間。若所有a，b是實數，則稱(a，b)，[a，b]為 n維有界區間，否則稱為 n維無界區間，上述區間統稱為 n維區間。從幾何上看，二維有界區間就是矩形，三維有界區間就是長方體，因此，也把n維有界區間稱為n維長方體。特別地，當b-a=b-a=…=b-a時，又稱為n維方體或n維方區間。例如：

(a-δ，a+δ)

就是n維開方區間，a=(a，a，…，a)稱為它的中心，2δ是它的棱長。n維區間(a，b)與[a，b]的n維體積是：

(b-a)。

n維區間I的容積

n維區間的容積都定義為：

(b-a)， (1)

於是，當n=1時，即為一維區間的長度，當n=2時，即為平面矩形面積;當n=3時，即為空間長方體的體積。

下面我們講的R 的積分，一般都假定n≥2。

如果R 內的點集S可以表為有限個無公共內點的n維區間之並，即若

我們便定義S的容積為

我們約定由有限個無公共內點的n維區間所成之並集，簡單地說成是n-區間有限並集。

性質1 若S是Rⁿ的一個n-區間有限並集，則S的容積與組成S的這些區間的表示方法無關(圖1) 。

證明設S=∪ =∪J,其中是有限個彼此無公共內點的閉區間，J也是有限個彼此無公共內點的閉區間。利用所有I與J的界面，將S分割為一系列彼此無公共內點的閉區間I'與一系列彼此無公共內點的閉區間J'。每個I'的成員與J'的每一個成員，或者無公共內點，或者內部完全重合，而所有I'的並集即為所有J'的並集。故有圖(2)