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全稱為Erdos－Mordell（埃爾多斯—莫德爾）不等式，簡稱E-M不等式。
設P是ΔABC內任意一點，P到ΔABC三邊BC,CA,AB的距離分別為PD=p,PE=q,PF=r，記PA=x,PB=y,PC=z。則
x+y+z≥2*(p+q+r)
證法1
因為P,E,A,F四點共圓，PA為直徑，則有:EF=PA*sinA。
在ΔPEF中，據餘弦定理得:
EF^2=q^2+r^2-2*q*r*cos(π-A)=q^2+r^2-2*q*r*cos(B+C)
=(q*sinC+r*sinB)^2-(q*cosC-r*cosB)^2≥(q*sinC+r*sinB)^2，
所以有 PA*sinA≥q*sinC+r*sinB，即
PA=x≥q*(SIMC/sinA)+r*(sinB/sinA) (1)。
同理可得:
PB=y≥r*(sinA/sinB)+p*(sinC/sinB) (2)，
PC=z≥p*(sinB/sinC)+q*(sinA/sinC) (3)。
(1)+(2)+(3)得:
x+y+z≥p*(sinB/sinC+sinC/sinB)+q*(simC/sinA+sinA/sinC)+r*(sinA/sinB+sinB/sinA)≥2*(p+q+r)。命題成立。
證法2
設∠BP=2α，∠CPA=2β,∠APB=2γ，令它們內角平分線分別為:t1,t2,t3。則只需證明更強的不等式
x+y+z≥2*(t1+t2+t3)。
事實上，注意到內角平分線公式有:
t1=(2*y*z*cosα)/(y+z)≤(√y*z)*cosα，
同理可得: t2≤(√z*x)*cosβ,t3≤(√x*y)*cosγ。
由於α+β+γ=π，所以由嵌入不等式可得:
2*(t1+t2+t3)≤2*(√y*z)*cosα+2*(√z*x)*cosβ+2*(√x*y)*cosγ≤x+y+z。證畢。
