Raychaudhuri方程

Va;b V(a;b) V(a;b)

由於我們對奇點的定義是建立在測地不完備性之上的， 因此為了研究奇點產生的條件， 很自然的做法就是對測地線的性質進行研究。 我們用 V 表示測地線的切矢量， 對於類時測地線來說， V 滿足兩個條件： VaVa=1 (歸一化條件) 及 VaVb;a=0 (自平移條件)。 我們效仿線性代數中引進投影算符的做法， 引進一個輔助張量 hab=Gab-VaVb。 不難證明 (請自行驗證)， hab 是在與 V 垂直的子空間上的投影算符， 因此 hab 有時被稱為時空度規 gab 的 “空間” 。
我們知道， 時空曲率的存在會導致沿相鄰測地線運動的試驗粒子之間的距離發生變化， 這是所謂的測地偏離 (geodesic deviation) 效應， 它是引力相互作用的一種體現。 我們對測地線性質的研究也從這個角度入手。 對一個測地線束來說， 如果我們用與切矢量 V 垂直的自然基矢 S 表示測地偏離矢量， 則 [S, V]=0， 即 ： dSa/dτ ≡ VbSa;b = Va;bSb (其中 τ 為固有時間)。 這表明， Va;b 描述了測地偏離矢量沿測地線的變化。 如果我們把沿測地線束運動的一群粒子看成一種類似於連續介質的東西， 那么 Va;b 描述的就是這一介質的形變。 由於這種形變是純 “空間” 的 ，因此我們可以仿照連續介質力學的做法， 用前面定義的時空度規的 “空間部分” hab 將這種形變分解為 ：
Va;b = (1/3)θhab + σab + ωab
其中 θ， σab， 及 ωab 分別定義為：
θ = Va;bhab = Va;a
σab = V(a;b) - (1/3)θhab
ωab = V[a;b]
這裡 V(a;b) 與 V[a;b] 分別為 Va;b 的對稱與反對稱部分。 上面這三項均有明確的物理意義： θ 被稱為膨脹標量 (expansion scalar)， 是 Va;b 的跡， 描述的是測地線束匯聚或發散的趨勢； σab 被稱為切變張量 (shear tensor)， 是 Va;b 的無跡對稱部分， 描述的是測地線束的空間截面在體積不變 (由無跡條件所保證) 的情況下產生形變的趨勢； ωab 被稱為渦旋張量 (vorticity tensor)， 是 Va;b 的反對稱部分， 描述的是測地線束在空間截面形狀不變的情況下相互纏繞的趨勢[注一]。 這其中描述測地線束匯聚或發散的 θ 對於奇點定理的討論有著特別重要的意義， 因此我們將著重對它進行研究。
為了研究 θ， 我們注意到從物理上講， 影響 θ 的因素是時空曲率 (或者說物質分布 - 兩者通過 Einstein 場方程彼此聯繫)。 因此我們從曲率張量的定義式 Va;bc - Va;cb = RadbcVd 出發[注二]。 將這一表達式對指標 a 和 b 進行縮並， 與 Vc 取內積， 並利用 Va;b 的分解式及類時切向量 V 的性質， 便可證明 θ 沿測地線的變化為：
dθ/dτ ≡ Vaθ;a = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab + ωabωab
其中 τ 為固有時間。 這個方程被稱為 Raychaudhuri 方程[注三]， 是印度物理學家 A. K. Raychaudhuri (1923-2005) 與俄國物理學家 L. Landau (1908-1968) 彼此獨立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)， 它與能量條件的結合將成為證明奇點定理的重要環節。
注釋：
1、文獻中對這一張量的叫法很多， 除渦旋外， 常見的叫法還有扭變 (twist) 與旋轉 (rotation)。
2、確切地講， 這是將曲率張量的定義用於測地切矢量場所得到的關係式。
3、是個物理量