測地線束
理論的假設與推導在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考慮的測地線束局部正比於某個梯度場， 或者說垂直於某個超曲面， 則稱該線束是超曲面垂直(hypersurface orthogonal) 的。 可以證明， 對於這樣的測地線束來說， 渦旋張量 ωab 為零， 從而 Raychaudhuri 方程可以簡化為：
dθ/dτ = -RabVaVb - (1/3)θ2 - σabσab
由於 σabσab 總是非負的， 因此從這個方程中我們可以得到：
dθ/dτ ≤ -RabVaVb - (1/3)θ2
如果進一步假定強能量條件成立， 即 RabVaVb 處處非負， 則上述不等式可以進一步簡化為：
dθ/dτ ≤ - (1/3)θ2
對這個不等式進行積分可得：
θ-1 ≥ θ0-1+(1/3)(τ-τ0)
其中 θ0=θ(τ0)。
從這個不等式我們可以得到一個重要的推論， 那就是倘若 θ0<0， 即線束在 τ=τ0 時出現匯聚效應， 則 θ 會在有限固有時間 τ-τ0≤3/|θ0| 內趨於負無窮。 可以證明， 這意味著測地線束在該處匯聚為一點， 或者說測地偏離矢量場 - 也稱為 Jacobi 場 - 在該處為零。
共軛點
定義如果一個從 p 點發出的非平凡 (即各測地線不處處重合， 或者說 Jacobi 場不處處為零) 的類時測地線束在 q 點匯聚， 我們就把 q 和 p 稱為該測地線束上 (即其中每一條測地線上) 的一對共軛點(conjugate points)。
存在的條件從上面的分析中我們看到， 如果從 p 點發出的一個類時測地線束在未來某一點上出現匯聚效應 θ<0， 則在該線束上距離 p 有限遠的地方必定存在一個與 p 共軛的點 q - 當然， 這裡我們要假定該測地線束可以延伸到 q 點。
顯然， 在一個測地完備時空中， “測地線束可以延伸到 q 點” 這一假定是自動滿足的。 因此， 對於測地完備時空來說， 上面這個結果是所有類時測地線都滿足的普遍性質。 進一步的分析表明， 上述結果所要求的條件， 即在某一點上 θ<0， 可以轉化為一個有關曲率張量的條件。 事實上， 從前面所得的 θ-1≥θ0-1+(1/3)(τ-τ0) 可以看到， 即便 σabσab 與 RabVaVb 處處為零， 且 θ0>0 (這是對形成 θ<0 最為不利的條件)， θ 仍將在 τ→∞ 時趨於零 (即幾乎就要形成 θ<0 這一結果)。 這使人想到， 上述最為不利的條件只要在某個點上 (從而由連續性條件可知在該點的一個鄰域內) 被破壞， 比如 RabVaVb>0 在某個點上成立， 就足可造成當 τ 足夠大時 θ<0。 事實也的確如此， 因此某一點上 θ<0 這一條件轉化為某一點上 RabVaVb>0。 如果我們進一步把 σabσab 所起的作用也考慮進去， 這一條件還可以繼續減弱。
最終可以得到這樣一個結果： 在一個測地完備的時空中， 如果強能量條件成立， 並且在每條類時測地線上至少有一個點使得 RabcdVbVd≠0， 則所有類時測地線上都存在共軛點對， 簡稱共軛對。
類時測地線
從物理意義上講， 每條類時測地線上至少有一個點使得 RabcdVbVd≠0， 意味著每條類時測地線都至少會在一個時空點上遇到由物質分布或引力波所造成的某種測地偏離效應。 這一條件 - 稱為類時一般性條件(timelike generic condition) - 在理論上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率張量與測地線切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所違反。 但對於具有現實物理意義的情形來說， 由於物質及引力波的分布往往足夠彌散及隨機， 類時一般性條件被認為是得到滿足的。
類光測地線
上面這些結果都是針對類時測地線的。 不過可以證明， 除了一些不影響定性結果的差異 (比如 Raychaudhuri 方程中的數值因子 1/3 因垂直子空間維數的改變而變成 1/2， 固有時間 τ 變成仿射參數 λ， 等) 外， 類光測地線也具有類似的性質。 類光測地線所滿足的一般性條件為： 每條類光測地線上至少有一個點使得 k[eRa]bc[dkf]kbkc ≠ 0。 這個條件被稱為類光一般性條件 (null generic condition)。
一般性條件
定義類時與類光一般性條件統稱為一般性條件。 把類時與類光情形合在一起， 我們前面介紹的結果可以重新表述為： 在一個測地完備的時空中， 如果強能量條件與一般性條件成立， 則每條非類空測地線上都存在共軛對。 這是一個不依賴於對稱性的普遍結果， 它對於奇點定理的證明及確立奇點定理的普適性都有極其重要的作用。
假定超曲面垂直對普遍性影響在上述結果的證明伊始我們曾經作過一個假設， 即所考慮的測地線束是超曲面垂直的。 這個假定保證了 ωab=0， 從而消除了 Raychaudhuri 方程中與其它各項符號相反 - 因而會對我們的證明造成極大幹擾 - 的 ωabωab 項。那么這個假設具有多大的普遍性呢？ 或者說， 這個假設是否會使上述結果 - 進而使整個奇點定理的證明 - 失去應有的普遍性呢？ 幸運的是， 在數學上可以證明， 經過某一時空點的類時測地線束必定在該點的某個凸鄰域內具有超曲面垂直性， 因此 ωab 在該鄰域內必定為零。 不僅如此， 通過一個與 Raychaudhuri 方程類似的描述 ωab 沿測地線變化的方程可以證明， ωab 沿一條測地線只要在某一點上為零， 就 (沿該測地線) 處處為零。 因此， 假定測地線束為超曲面垂直不會有損結果的普遍性。
對證明奇點定理的貢獻上面的結果表明， 在一個具有適當物質分布的測地完備時空中共軛點的存在是普遍現象。 假如有一個適當的物質粒子群沿某個非類空測地線束運動， 那么當它們運動到共軛點上時， 由於測地線的匯聚， 粒子的數密度 (以及質量密度) 將趨於發散， 從而形成一個奇點。 Raychaudhuri 發表於 1955 年的原始論文就涉及了這樣的情形。 不過， 在一般情況下沒有理由假定存在那樣的物質粒子群， 因此共軛點的存在不會直接導致奇點， 上述結果也不足以作為奇點存在性的證明 (如果一定要算證明的話， 只能算是非常弱的證明， 因為它所要求的條件太過特殊)。 但是， 這一結果為十年後 Penrose 等人的工作奠定了基礎， 是證明奇點定理的第一步。 這一步所側重的是引力理論中的動力學因素， 強能量條件的引進是這種因素的體現。
