來源
“極限”一詞源於拉丁文“limitem”，縮寫為“lim”。1786年瑞士數學家魯易理(Lhuillier)首次引入，後人不斷完善，發展了長達122年之久，由英國數學家哈代(Haddy)的完善極限符號才成為今天通用的符號。
極限是微積分中的基礎概念，它指的是變數在一定的變化過程中，從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值（極限值）。
在高等數學中，極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限和函式極限，分別定義如下。
數列極限
數列極限表達式設 {X} 為實數列，a 為定數．若對任給的正數 ε，總存在正整數N，使得當 n>N 時有∣X-a∣<ε 則稱 數列{X} 收斂於a，定數 a 稱為數列 {X} 的 極限，並記作，或X→a（n→∞）
讀作“當 n 趨於無窮大時，{X} 的極限等於 或 趨於 a”．
若數列 {X} 沒有極限，則稱 {X} 不收斂，或稱 {X} 為 發散數列．
該定義常稱為 數列極限的 ε—N 定義．
對於 收斂數列有以下兩個基本性質，即收斂數列的唯一性和有界性。
定理1：如果數列{X}收斂，則其極限是唯一的。
定理2：如果數列{X}收斂，則其一定是有界的。即對於一切n（n=1,2……），總可以找到一個正數M，使|X|≤M。
對定義的理解：
1、ε的任意性 定義中ε的作用在於衡量數列通項
與常數a的接近程度。ε越小，表示接近得越近；而正數ε可以任意地變小，說明xn與常數a可以接近到任何不斷地靠近的程度。但是，儘管ε有其任意性，但一經給出，就被暫時地確定下來，以便靠它用函式規律來求出N;
又因為ε是任意小的正數，所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正數範圍，因此可用它們的數值近似代替ε。同時，正由於ε是任意小的正數，我們可以限定ε小於一個某一個確定的正數。
2、N的相應性 一般來說，N隨ε的變小而變大，因此常把N寫作N(ε)，以強調N對ε的變化而變化的依賴性。但這並不意味著N是由ε唯一確定的：（比如若n>N使成立，那么顯然n>N+1、n>2N等也使成立）。重要的是N的存在性，而不在於其值的大小。
3、從幾何意義上看，“當n>N時，均有不等式成立”意味著：所有下標大於N的都落在(a-ε，a+ε)內；而在(a-ε，a+ε)之外，數列{xn} 中的項至多只有N個（有限個）。換句話說，如果存在某ε0>0，使數列{xn} 中有無窮多個項落在(a-ε0，a+ε0) 之外，則{xn} 一定不以a為極限。
性質
1、唯一性：若數列的極限存在，則極限值是唯一的，且它的任何子列的極限與原數列的相等。
2、有界性：如果一個數列’收斂‘（有極限），那么這個數列一定有界。
但是，如果一個數列有界，這個數列未必收斂。例如數列 ：“1，-1，1，-1，……，(-1)n+1”
3、與子列的關係：數列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發散，且在收斂時有相同的極限；數列
收斂的充要條件是：數列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。
單調收斂定理
單調有界數列必收斂
函式極限
lim
lim
lim
lim
lim lim設函式 在點 的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數 （無論它多么小），總存在正數 ，使得當x滿足不等式 時，對應的函式值 都滿足不等式：
|f(x)-A|<ε，
則稱函式f當x趨於+∞時以A為極限，記作
lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)
