J[轉動慣量]:轉動慣量(Moment of Inertia)，是剛體繞 -百科知識中文網

基本含義

質量轉動慣量

其量值取決於物體的形狀、質量分布及轉軸的位置。剛體的轉動慣量有著重要的物理意義，在科學實驗、工程技術、航天、電力、機械、儀表等工業領域也是一個重要參量。電磁系儀表的指示系統，因線圈的轉動慣量不同，可分別用於測量微小電流（檢流計）或電量（衝擊電流計）。在發動機葉片、飛輪、陀螺以及人造衛星的外形設計上，精確地測定轉動慣量，都是十分必要的。

轉動慣量只決定於剛體的形狀、質量分布和轉軸的位置，而同剛體繞軸的轉動狀態（如角速度的大小）無關。形狀規則的勻質剛體，其轉動慣量可直接用公式計算得到。而對於不規則剛體或非均質剛體的轉動慣量，一般通過實驗的方法來進行測定，因而實驗方法就顯得十分重要。轉動慣量套用於剛體各種運動的動力學計算中。

轉動慣量的表達式為

若剛體的質量是連續分布的，則轉動慣量的計算公式可寫成

(式中表示剛體的某個質元的質量，r表示該質元到轉軸的垂直距離,ρ表示該處的密度，求和號（或積分號）遍及整個剛體。)

轉動慣量的量綱為，在SI單位制中，它的單位是。

此外，計算剛體的轉動慣量時常會用到平行軸定理、垂直軸定理（亦稱正交軸定理）及伸展定則。

面積轉動慣量

有實際套用價值的只是平面積的轉動慣量，平面積A對平面內互相垂直的x和y軸的轉動慣量分別為和，式中x，y為面元dA的位置坐標。平面積A對於通過x，y軸交點並同它們互相垂直的z軸的轉動慣量（又稱極轉動慣量）為：

式中為面元dA至z軸的垂直距離（見截面的幾何性質）。面積轉動慣量常用的單位有厘米和等。

描述面積繞同它垂直的互相平行諸轉軸的轉動慣量之間的關係有如下的平行軸定理：面積對於一軸的轉動慣量，等於該面積對於同此軸平行並通過形心之軸的轉動慣量加上該面積同兩軸間距離平方的乘積。由於和式的第二項恆大於零，因此面積繞過形心之軸的轉動慣量是繞該束平行軸諸轉動慣量中的最小者。

動力學公式

上面給出的是轉動慣量的定義和計算公式。下面給出一些（定軸轉動的）剛體動力學公式。

角加速度與合外力矩的關係：

式中M為合外力矩，β為角加速度。可以看出這個式子與牛頓第二定律具有類似的形式。

角動量：

剛體的定軸轉動動能：

注意這只是剛體繞定軸的轉動動能，其總動能應該再加上質心平動動能。由這一公式，可以從能量的角度分析剛體動力學的問題。

張量定義

剛體繞某一點轉動的慣性可由更普遍的慣性張量描述。慣性張量是二階對稱張量，它完整地刻畫出剛體繞通過該點任一軸的轉動慣量的大小。出於簡單的角度考慮，這裡僅給出繞質心的轉動慣量張量的定義及其在力矩方程中的表達式。

設有一個剛體A,其質心為C,剛體A繞其質心C的轉動慣量張量定義為

該積分遍及整個剛體A，其中，，是剛體質心C到剛體上任一點B的矢徑；表達式是兩個矢量的並乘；而

為單位張量，標架是一個典型的單位正交曲線標架；是剛體的密度。

轉動慣量張量的力矩方程

設剛體A所受到的繞其質心C的合力矩矢量為，剛體A在慣性系下的角速度矢量為，角加速度矢量為，A繞其質心的轉動慣量張量為，則有如下的力矩方程：

將上面的矢量形式的力矩方程向各個坐標軸投影（或者，更確切地說，與各個坐標軸的單位方向矢量相點乘），就可以獲得各個坐標軸分量方向的標量形式的力矩方程。

轉動慣量張量是一個二階張量，雖然在標架下它有九個分量，但是因為它是一個對稱張量，故其實際獨立的分量只有六個。

實驗測定

實際情況下，不規則剛體的轉動慣量往往難以精確計算，需要通過實驗測定。測定剛體轉動慣量的方法很多，常用的有三線擺、扭擺、復擺等。三線擺是通過扭轉運動測定物體的轉動慣量，其特點是物理圖像清楚、操作簡便易行、適合各種形狀的物體，如機械零件、電機轉子、槍炮彈丸、電風扇的風葉等的轉動慣量都可用三線擺測定。這種實驗方法在理論和技術上有一定的實際意義。

實驗原理

如右所示，三線擺的上盤沿等邊三角形的頂點對稱地連線在下面的一個較大的均勻圓盤邊緣的正三角形頂點上。實驗時，先使下盤空載，令上盤轉過一個小角度，此時下盤開始做扭擺運動，同時，下圓盤的質心將沿著轉動軸升降。記其振動周期為，下盤質量為。接下來將質量為的待測物體放在下盤上，使其質心恰位於下盤中軸線上，然後再次使下盤做扭擺運動，並記其周期為。