個人成就
F·克萊因在非歐幾何、連續群論、代數方程論、自守函式論等方面，都取得了傑出的成就。1872年，他在愛爾蘭根大學發表題為《關於近代幾何學研究的比較評述》的著名演講，用變換群做出了幾何學的分類。又把群的概念套用於自守函式、橢圓模函式、線性微分方程、阿貝爾函式等方面。他首先提倡改革中等教育的數學內容和方法，影響了近代的數學教育。在數學史方面，著有《l9世紀數學的發展》。對工程力學也有貢獻。長期擔任《數學年鑑》的編輯。1895年倡議編纂《數學百科全書》，並為之付出了大量勞動。F·克萊因的主要著作有《非歐幾何學》、《高等幾何學》、《橢圓函式論》、《二階線性微分方程》、《初等幾何若干問題》、《從高等數學的角度研究初等數學》等。
F·克萊因的成就是多方面的，但他的主要貢獻還是在幾何方面。他給出了羅巴切夫斯基非歐幾何一個簡單的直觀模型，把該幾何的相容性問題歸結為歐幾里得幾何的相容性問題，使得原來似乎複雜和難於接受的非歐幾何的思想變得易於理解，促使數學界承認了非歐幾何在數學中的合法地位。他仔細區分出兩類橢圓幾何，並給出單重橢圓幾何一個簡單直觀的曲面模型。他接受凱萊（A·Cayley）關於一般射影關係決定度量的思想，並將它推廣以至包括各種非歐幾何。他把凱萊絕對形的性質具體化，並套用類似於凱萊的距離和角度表達式，把羅巴切夫斯基度量幾何、黎曼非歐幾何（正的常曲率）、通常的歐幾里得度量幾何等統統納入射影幾何，從而成功地完成了各種度量幾何的統一工作，他的著名演講《關於近代幾何學研究的比較評述》所提出的幾何學群論觀點利用變換群作工具，以極為簡潔的方式給出了各種幾何學的統一定義，明確了各種幾何學的研究對象，作出了幾何學的分類。這不但使當時已經五彩紛呈、犬牙交錯的眾多幾何學化為統一的形式，而且也指明了建立抽象空間各種新的幾何學的一種方法。
影響
F·克萊因的幾何學群論觀點是19世紀幾何學發展史上一次新的飛躍。它引導了其後50年左右的幾何學發展。人們把它譽為《愛爾蘭根綱領》而流傳於世，以至於逐漸淡忘了這篇著名演講的本來標題。談到F·克萊因，人們馬上就想到愛爾蘭根綱領；論及愛爾蘭根綱領，人們立刻回憶F·克萊因。F·克萊因，愛爾蘭根綱領，幾乎成了同義語。
