發現歷史
由於公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，因此現代數學家們推斷當時畢達哥拉斯學派已經觸及甚至掌握了黃金分割。
公元前4世紀，古希臘數學家歐多克索斯第一個系統研究了這一問題，並建立起比例理論。
公元前300年前後歐幾里得撰寫《帕喬利》時吸收了歐多克索斯的研究成果，進一步系統論述了黃金分割，成為最早的有關黃金分割的論著。
中世紀後，黃金分割被披上神秘的外衣，義大利數家帕喬利稱中末比為神聖比例，並專門為此著書立說。德國天文學家克卜勒稱黃金分割為神聖分割。
到19世紀黃金分割這一名稱才逐漸通行。黃金分割數有許多有趣的性質，人類對它的實際套用也很廣泛。最著名的例子是優選學中的黃金分割法或0.618法，是由美國數學家基弗於1953年首先提出的，70年代在中國推廣。
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a b
a:b=(a+b):a
通常用希臘字母Ф表示這個值。
黃金分割奇妙之處，在於其比例與其倒數是一樣的。例如：1.618的倒數是0.618，而1.618:1與1:0.618是一樣的。
確切值為(√5-1)/2
黃金分割數是無理數，前面的1024位為:
0.6180339887 4989484820 4586834365 6381177203 0917980576
2862135448 6227052604 6281890244 9707207204 1893911374
8475408807 5386891752 1266338622 2353693179 3180060766
7263544333 8908659593 9582905638 3226613199 2829026788
0675208766 8925017116 9620703222 1043216269 5486262963
1361443814 9758701220 3408058879 5445474924 6185695364
8644492410 4432077134 4947049565 8467885098 7433944221
2544877066 4780915884 6074998871 2400765217 0575179788
3416625624 9407589069 7040002812 1042762177 1117778053
1531714101 1704666599 1466979873 1761356006 7087480710
1317952368 9427521948 4353056783 0022878569 9782977834
7845878228 9110976250 0302696156 1700250464 3382437764
8610283831 2683303724 2926752631 1653392473 1671112115
8818638513 3162038400 5222165791 2866752946 5490681131
7159934323 5973494985 0904094762 1322298101 7261070596
1164562990 9816290555 2085247903 5240602017 2799747175
3427775927 7862561943 2082750513 1218156285 5122248093
9471234145 1702237358 0577278616 0086883829 5230459264
7878017889 9219902707 7690389532 1968198615 1437803149
9741106926 0886742962 2675756052 3172777520 3536139362
1076738937 6455606060 5922...基本內容
黃金分割律又稱黃金率。技術分析專家將該定律引用到股市、匯市和期貨市場，來探討價位變動的高低點，準確性相當高，所以沿用至今。
黃金分割律最基本的公式，就是將1分割為0．618和0.382，然後再根據實際情況的變化，演變到其它的計算公式。當空頭市場結束，多頭市場來臨時，投資人最關心的問題是“頂”在哪裡？事實上，影響匯價變動的因素很多，想要準確地掌握上升行情的最高點是不可能的。投資人可以做的是依照黃金分割律計算可能出現的匯價反轉點即壓力點，作為操作時的參考數據。
當匯價上漲脫離低價位時，參考其它技術指標如均價線系統、K線、慢步與快步隨機指標等，從上升的速度與持久性來分析，並依照黃金分割律，它的漲勢可能在上漲幅度接近或達到或超過0．382與0．618時發生變化。也就是說，當上升到接近或達到或超過38．2%或者61．8%時就會出現反壓，有結束上升行情開始反轉下跌的可能。
黃金分割律除了固定的0．382和0．618是上漲幅度的壓力點以外，其間也有一半的壓力點，而且0．382的一半0．191也是很重要的依據。因此，當上升行情展開，需要預先定下匯價上升的能力與可能反轉的價位隨時作好操作的準備時，可將前一階段下跌行情的最低點乘以0.191、0．382、0．618和1；當匯價上漲幅度超過一倍時，它的反壓點則是1．191、1．382、1．618、1．809和2；依此類推。當多頭市場結束，空頭市場展開時，投資人最關心的“底”在哪裡，也同樣可以用黃金分割律的方法進行支撐點的預測、計算並作好逢低買入的準備。
生活套用
有趣的是，這個數字在自然界和人們生活中到處可見：人們的肚臍是人體總長的黃金分割點，人的膝蓋是肚臍到腳跟的黃金分割點。大多數門窗的寬長之比也是0.618…；有些植莖上，兩張相鄰葉柄的夾角是137度28'，這恰好是把圓周分成1:0.618……的兩條半徑的夾角。據研究發現，這種角度對植物通風和採光效果最佳。
建築師們對數學0.618…特別偏愛，無論是古埃及的金字塔，還是巴黎的聖母院，或者是近世紀的法國艾菲爾鐵塔，都有與0.618…有關的數據。人們還發現，一些名畫、雕塑、攝影作品的主題，大多在畫面的0.618…處。藝術家們認為弦樂器的琴馬放在琴弦的0.618…處，能使琴聲更加柔和甜美。
數字0.618…更為數學家所關注，它的出現，不僅解決了許多數學難題(如：十等分、五等分圓周；求18度、36度角的正弦、餘弦值等)，而且還使優選法成為可能。優選法是一種求最最佳化問題的方法。如在煉鋼時需要加入某種化學元素來增加鋼材的強度，假設已知在每噸鋼中需加某化學元素的量在1000—2000克之間，為了求得最恰當的加入量，需要在1000克與2000克這個區間中進行試驗。通常是取區間的中點(即1500克)作試驗。然後將試驗結果分別與1000克和2000克時的實驗結果作比較，從中選取強度較高的兩點作為新的區間，再取新區間的中點做試驗，再比較端點，依次下去，直到取得最理想的結果。這種實驗法稱為對分法。但這種方法並不是最快的實驗方法，如果將實驗點取在區間的0.618處，那么實驗的次數將大大減少。這種取區間的0.618處作為試驗點的方法就是一維的優選法，也稱0.618法。實踐證明，對於一個因素的問題，用“0.618法”做16次試驗就可以完成“對分法”做2500次試驗所達到的效果。因此大畫家達·芬奇把0.618…稱為黃金數。
“黃金分割”與“三分法則”
“黃金分割”是廣泛存在於自然界的一種現象,簡單的說就是將攝影主體放在位於畫面大約三分之一處,讓人覺得畫面和諧充滿美感。“黃金分割法”又稱“三分法則”,“三分法則”就是將整個畫面在橫、豎方向各用兩條直線分割成等份的三部分,我們將拍攝的主體放置在任意一條直線或直線的交點上這樣比較符合人類的視覺習慣。拍攝時可直接調出相機的“井”字輔助線,將拍攝主體放在4個交叉點上,這樣畫面立刻就活了起來。
618與戰爭
0.618與戰略戰役
0.618，一個極為迷人而神秘的數字，而且它還有著一個很動聽的名字——黃金分割律，它是古希臘著名哲學家、數學家畢達哥拉斯於2500多年前發現的。古往今來，這個數字一直被後人奉為科學和美學的金科玉律。在藝術史上，幾乎所有的傑出作品都不謀而合地驗證了這一著名的黃金分割律，無論是古希臘帕特農神廟，還是中國古代的兵馬俑，它們的垂直線與水平線之間竟然完全符合1比0.618的比例。
也許，0.618在科學藝術上的表現我們已了解了很多，但是，你有沒有聽說過，0.618還與炮火連天、硝煙瀰漫、血肉橫飛的慘烈、殘酷的戰場也有著不解之緣，在軍事上也顯示出它巨大而神秘的力量？
0.618與武器裝備
在冷兵器時代，雖然人們還根本不知道黃金分割率這個概念，但人們在製造寶劍、大刀、長矛等武器時，黃金分割率的法則也早已處處體現了出來，因為按這樣的比例製造出來的兵器，用起來會更加得心應手。
當發射子彈的步槍剛剛製造出來的時候，它的槍把和槍身的長度比例很不科學合理，很不方便於抓握和瞄準。到了1918年，一個名叫阿爾文·約克的美遠征軍下士，對這種步槍進行了改造，改進後的槍型槍身和槍把的比例恰恰符合0.618的比例。
實際上，從鋒利的馬刀刃口的弧度，到子彈、炮彈、彈道飛彈沿彈道飛行的頂點；從飛機進入俯衝轟炸狀態的最佳投彈高度和角度，到坦克外殼設計時的最佳避彈坡度，我們也都能很容易地發現黃金分割率無處不在。
在大炮射擊中，如果某種間瞄火炮的最大射程為12公里，最小射程為4公里，則其最佳射擊距離在9公里左右，為最大射程的2/3，與0.618十分接近。在進行戰鬥部署時，如果是進攻戰鬥，大炮陣地的配置位置一般距離己方前沿為1/3倍最大射程處，如果是防禦戰鬥，則大炮陣地應配置距己方前沿2/3倍最大射程處。
0.618與戰術布陣
在我國歷史上很早發生的一些戰爭中，就無不遵循著0.618的規律。春秋戰國時期，晉厲公率軍伐鄭，與援鄭之楚軍決戰於鄢陵。厲公聽從楚叛臣苗賁皇的建議，把楚之右軍作為主攻點，因此以中軍之一部進攻楚軍之左軍；以另一部進攻楚軍之中軍，集上軍、下軍、新軍及公族之卒，攻擊楚之右軍。其主要攻擊點的選擇，恰在黃金分割點上。
把黃金分割律在戰爭中體現得最為出色的軍事行動，還應首推成吉思汗所指揮的一系列戰事。數百年來，人們對成吉思汗的蒙古騎兵，為什麼能像颶風掃落葉般地席捲歐亞大陸頗感費解，因為僅用遊牧民族的彪悍勇猛、殘忍詭譎、善於騎射以及騎兵的機動性這些理由，都還不足以對此做出令人完全信服的解釋。或許還有別的更為重要的原因？仔細研究之下，果然又從中發現了黃金分割律的偉大作用。蒙古騎兵的戰鬥隊形與西方傳統的方陣大不相同，在它的5排制陣形中，人盔馬甲的重騎兵和快捷靈動輕騎兵的比例為2:3，這又是一個黃金分割！你不能不佩服那位馬背軍事家的天才妙悟，被這樣的天才統帥統領的大軍，不縱橫四海、所向披靡，那才怪呢。
馬其頓與波斯的阿貝拉之戰，是歐洲人將0.618用於戰爭中的一個比較成功的範例。在這次戰役中，馬其頓的亞歷山大大帝把他的軍隊的攻擊點，選在了波斯大流士國王的軍隊的左翼和中央結合部。巧的是，這個部位正好也是整個戰線的“黃金點”，所以儘管波斯大軍多於亞歷山大的兵馬數十倍，但憑藉自己的戰略智慧，亞歷山大把波斯大軍打得潰不成軍。這一戰爭的深刻影響直到今天仍清晰可見， 在海灣戰爭中，多國部隊就是採用了類似的布陣法打敗了伊拉克軍隊。
兩支部隊交戰，如果其中之一的兵力、兵器損失了1/3以上，就難以再同對方交戰下去。正因為如此，在現代高技術戰爭中，有高技術武器裝備的軍事大國都採取長時間空中打擊的辦法，先徹底摧毀對方1/3以上的兵力、武器，爾後再展開地面進攻。讓我們以海灣戰爭為例。戰前，據軍事專家估計，如果共和國衛隊的裝備和人員，經空中轟炸損失達到或超過30%，就將基本喪失戰鬥力。為了使伊軍的損耗達到這個臨界點，美英聯軍一再延長轟炸時間，持續38天，直到摧毀了伊拉克在戰區內428輛坦克中的38%、2280輛裝甲車中的32%、3100門火炮中的47%，這時伊軍實力下降至60%左右，這正是軍隊喪失戰鬥力的臨界點。也就是將伊拉克軍事力量削弱到黃金分割點上後，美英聯軍才抽出“沙漠軍刀”砍向薩達姆，在地面作戰只用了100個小時就達到了戰爭目的。在這場被譽為“沙漠風暴”的戰爭中，創造了一場大戰僅陣亡百餘人奇蹟的施瓦茨科普夫將軍，算不上是大師級人物，但他的運氣卻幾乎和所有的軍事藝術大師一樣好。其實真正重要的並不是運氣，而是這位率領一支現代大軍的統帥，在進行戰爭的運籌帷幄中，有意無意地涉及了0.618，也就是說，他多多少少託了黃金分割律的福。
此外，在現代戰爭中，許多國家的軍隊在實施具體的進攻任務時，往往是分梯隊進行的，第一梯隊的兵力約占總兵力的2/3，第二梯隊約占1/3。在第一梯隊中，主攻方向所投入的兵力通常為第一梯隊總兵力的2/3，助攻方向則為1/3。防禦戰鬥中，第一道防線的兵力通常為總數的2/3，第二道防線的兵力兵器通常為總數的1/3。
拿破崙大帝敗於黃金分割線？
0.618不僅在武器和一時一地的戰場布陣上體現出來，而且在區域廣闊、時間跨度長的巨觀的戰爭中，也無不得到充分地展現。
一代梟雄的的拿破崙大帝可能怎么也不會想到，他的命運會與0.618緊緊地聯繫在一起。1812年6月，正是莫斯科一年中氣候最為涼爽宜人的夏季，在未能消滅俄軍有生力量的博羅金諾戰役後，拿破崙於此時率領著他的大軍進入了莫斯科。這時的他可是躊躇滿志、不可一世。他並未意識到，天才和運氣此時也正從他身上一點點地消失，他一生事業的頂峰和轉折點正在同時到來。後來，法軍便在大雪紛揚、寒風呼嘯中灰溜溜地撤離了莫斯科。三個月的勝利進軍加上兩個月的盛極而衰，從時間軸上看，法蘭西皇帝透過熊熊烈焰俯瞰莫斯科城時，腳下正好就踩著黃金分割線。
1941年6月22日，納粹德國啟動了針對蘇聯的“巴巴羅薩”計畫，實行閃電戰，在極短的時間裡，就迅速占領了的蘇聯廣袤的領土，並繼續向該國的縱深推進。在長達兩年多的時間裡，德軍一直保持著進攻的勢頭，直到1943年8月，“巴巴羅薩”行動結束，德軍從此轉入守勢，再也沒能力對蘇軍發起一次可以稱之為戰役行動的進攻。被所有戰爭史學家公認為蘇聯衛國戰爭轉折點的史達林格勒戰役，就發生在戰爭爆發後的第17個月，正是德軍由盛而衰的26個月時間軸線的黃金分割點。
證明方法
設一條線段AB的長度為a，C點在靠近B點的黃金分割點上且AC為b
AC/AB=BC/AC
b^2=a×(a-b)
b^2=a^2-ab
a^2-ab+(1/4)b^2=(5/4)×b^2
(a-b/2)^2=(5/4)b^2
a-b/2=（√5/2）×b
a-b/2=(√5)b/2
a=b/2+(√5)b/2
a=b(√5+1）/2
b/a=(√5-1）/2
線段黃金分割
線段的黃金分割尺規作圖
設已知線段為AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB/2； 2.連結AC； 3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC於D； 4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB於P，則點P就是AB的黃金分割點。 事實上，在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊與一點，過這個點，作一條直線垂直於較長邊，這時，生成的新矩形（不是那個正方形）仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重複，產生無數個黃金矩形。 古希臘巴特農神廟是舉世聞名的完美建築，它的高和寬的比是0.618。建築師們發現，按這樣的比例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、漂亮．連一扇門窗若設計為黃金矩形都會顯得更加協調和令人賞心悅目 令人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關，對人體解剖很有研究的義大利畫家達·芬奇發現，人的肚臍位於身長的0.618處；咽喉位於肚臍與頭頂長度的0.618處；肘關節位於肩關節與指頭長度的0.618處，人體存在著肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節四個黃金分割點，它們也是人賴以生存的四處要害。
1.設已知線段為AB，過點B作BC⊥AB，且BC=AB/2； 2.連結AC； 3.以C為圓心，CB為半徑作弧，交AC於D； 4.以A為圓心，AD為半徑作弧，交AB於P，則點P就是AB的黃金分割點。 事實上，在一個黃金矩形中，以一個頂點為圓心，矩形的較短邊為半徑作一個四分之一圓，交較長邊與一點，過這個點，作一條直線垂直於較長邊，這時，生成的新矩形（不是那個正方形）仍然是一個黃金矩形，這個操作可以無限重複，產生無數個黃金矩形。 古希臘巴特農神廟是舉世聞名的完美建築，它的高和寬的比是0.618。建築師們發現，按這樣的比例來設計殿堂，殿堂更加雄偉、美麗；去設計別墅，別墅將更加舒適、漂亮．連一扇門窗若設計為黃金矩形都會顯得更加協調和令人賞心悅目 令人驚訝的是，人體自身也和0.618密切相關，對人體解剖很有研究的義大利畫家達·芬奇發現，人的肚臍位於身長的0.618處；咽喉位於肚臍與頭頂長度的0.618處；肘關節位於肩關節與指頭長度的0.618處，人體存在著肚臍、咽喉、膝蓋、肘關節四個黃金分割點，它們也是人賴以生存的四處要害。
