非平面圖與非平面網路對偶性問題
綜述了有關非平面圖對偶圖問題，肯定了非平面圖不存在對偶圖之後，採用在一定規則下將非平面圖作拓撲平面化處理的辦法，然後通過“TP’對偶圖概念，建立了非平面圖次對偶圖的定義。給出了構造非平面圖次對偶圖的一般規則。證明了有關非平面圖與次對偶圖之間某些對偶關係的定理。最後，將次對偶圖概念套用到網路理論中，及非平面網路的對偶網路問題，並以實例驗證了在次對偶圖概念基礎上解決非平面網路對偶網路的可能性。
非平面網路的對偶網路
自從圖論證 明了非平面圖不存在對偶圖的理論之後，網路理論中一般都採用了非平面網路一般是不存在對偶網路的說法。但是，由於對偶網路在網路理論中有著很重要的意義，非平面網路的對偶性問題一 直被人們所重視。 主要觀點是：單鈍從物理概念出發，藉助引進理想變壓器，將非平面網路變成平面網路。由於網路在引進理想變壓器時要受到很多限制，而實際上並沒有被普遍採用。如果在建立的非平面圖的次對偶圖基礎上考慮非平面網路的對偶網路問題，由於在不引進理想變壓器的情況下可以考慮非平面網路的對偶網路(尤其是電阻性網路)，因此，非平面圖的次對偶圖概念在理論上和實際上都具有一 定意義。
通過次對偶圖概念研究非平面網路的對偶網路時，主要採用如下規則：將非平面網路抽象成非平面圖，網路 中對應於對偶叉的支路分裂時，使同一頂點分裂所產生的增生頂點具有同被分裂頂點相同的電位( 即等電位點)。 這樣，在平面化過程中，所有對應於未經分裂支路的頂點電位、路上的跨接電壓、通過電流及 二端元件參數均不 發生變化，發生變化的僅是對應於被分裂的對偶叉的支路，該支路由兩條( 或兩條以上) 與其具有相同跨接電壓和不同通過電流的支路表示，而且相對於增生叉上的通過電流均可由未被分裂支路上的通過電流求出。這樣，即可以確定出相對於增生叉支路上二 端元件的參數，並由此確定出對偶網路中相對於被分裂支路的各支路上二端元件的參數。因此，這種非平面網路的對偶網路與平面網路的對偶網路相比較，差別僅在於：非平面網路中被分裂支路的二端元件與次對偶網路中兩個( 或兩個以上 ) 二端元件相對應。
被分裂支路的方便
一 )、 全部電壓源對應的邊要選為對偶樹的叉(只要這些電壓源不組成迴路，是一定能做到的)，並首先把它們作為被分裂的對偶叉。這時增生叉所對應的電壓源，仍與原電壓源相同，只是此時流經電壓源的電流發生了變化。
二 )、全部電流源對應的邊，要選作衍生圖中的弦(只要它們不組成一個割集，是一定可以做到的)。分裂對偶 叉時，對電流源電流並無影響，該電流源電流仍為已知，並可方便地用於求對應於增生叉的電流值。
三 )、如果全部電壓源所對應的對偶叉分裂並不能使非平面網路所對應的非平面圖拓撲平面化，或非平面網路 中不含有單獨由獨立電壓源本身所構成的支路時，則必須還要分裂一些帶有其它參數的二端元件的支路所對的對 偶叉。這時由於支路上跨接電壓不變，而通過電流 的改變，必須由修改其支路上二端元件參數來實現。這是 一 個比較複雜的問題，如果整個網路是對直流而言，則很容易確定其參數(只要考慮 到不要有負阻產生)。對於某一個 固定頻率的電源，支路參數也可以求出。但是，如果網路是在一定的頻率範圍內工作，則需要進 一步考慮元件的實現問題。這時並不象平面網路那樣元件與頻率無關。因為平面網路對偶網路間的對偶關係一但對某個確定頻率形成之後，將對所有頻率適用，而非平面網路的對偶網路則不是這樣。
基於特徵的城市交通網路非平面數據模型
通過分析交通網路特性，提出了一種適合城市交通網路數據表達與操作、基於完整交通特徵的GIS數據模型，以彌補傳統基於弧段 -節點的GIS數據模型在城市交通網路建模中的不足，並在此基礎上將傳統的交通網路平面圖表達模式升華到非平面模式，設計了基於特徵的交通網路非平面數據模型的概念建模與邏輯建模方法，為相應的數據結構與資料庫實現奠定了基礎。
平面數據模型中的交通特徵關係表達方法
在平面數據模型中，由於平面強化的限制，大部分特徵幾何目標是由弧段組成的複合目標。征之間的語義關係及幾何目標之間的拓撲關係都是一對多、多對多的關係，甚至特徵目標與平面圖的幾何目標之間也是一對多的語義關係。在傳統的平面矢量拓撲數據模型中，一般採用動態分段技術，通過一定的映射關係將交通要素與平面圖數據模型聯繫起來，在不改變ITU策略的前提下描述多重屬性集，構造完整特徵目標。
單純採用面向對象的方法也可構造完整的交通網路特徵，使用串列指針直接將特徵幾何目標與平面圖數據模型中的幾何目標聯繫起來，避免中間媒體的介入，減少數據冗餘和關係表的並操作。但面向對象的方法所構造的特徵目標，同樣是虛擬目標，特徵幾何目標需要通過串列指針的方法才能獲得。此外，由於串列指針的加入，特徵屬性表是不定長的 不能採用關係表的方法存儲。
GIS-T非平面數據模型
在城市交通網路中，大部分路段交叉處的節點確實存在，即絕大部分節點是拓撲節點。這樣非平面模型的優勢並不大，而平面數據模型在弧段 -節點拓撲關係的一致性、拓撲自動化及網路分析中的優勢卻被完全放棄了。 因此，為了補償放棄平面強化所帶來的不利影響，在提出的非平面數據模型中，對於幾何數據表達，除了道路的真實起終節點外，在路線交叉處一般不產生節點，保持交通特徵的幾何完整性。
非平面數據模型並不排斥動態分段技術。在非平面數據模型中，動態分段技術可以用來構造公車路線等複合特徵，或處理道路上連續的屬性變化。
GIS-T非平面數據模型特徵及關係表達
城市交通網路非平面數據模型與傳統的平面弧段 -節點數據模型本質的區別在於幾何和網路建模要素的表達方式上。 通過基於特徵的方法，將幾何建模要素從弧段擴展到整個道路特徵，同時，引入網路建模要素，將拓撲從幾何中分離出來，此外，引入交通特徵的時態特性描述，以完整、真實地刻畫城市交通網路。
