概念
雙曲不變集是雙曲周期點概念的推廣，是微分動力系統的一個極為重要的不變集。設M是黎曼流形，U⊂M是M的一個開集，f∈C1(U，M)是從U到f(U)的微分同胚，∧是U的緊緻子集。如果：
1.∧關於f是不變的，即f(∧)=∧；
2.TM=(TM)|分解為關於Df不變的連續的惠特尼和
雙曲不變集
雙曲不變集
雙曲不變集3.對於M的黎曼度量〈·，·〉，存在常數C>0，C>0和0<λ<1，使得：
雙曲不變集
雙曲不變集則稱緊緻子集∧是f的一個雙曲不變集，這裡|·|是由黎曼度量給出的模。對於定義中的第3條已證明：存在與〈·，·〉等價的黎曼度量《·，·》和常數0<τ<1，使得：
雙曲不變集
雙曲不變集當雙曲不變集∧是f的一周期軌道組成，並且p∈∧，那么p就稱為雙曲周期點。這一定義等價於“雙曲不動點”條目中所給的定義(參見“雙曲不動點”)。當M緊緻，微分同胚f：M→M以M為雙曲不變集時，f被稱為安諾索夫微分同胚。系統的雙曲不變集是結構穩定的；安諾索夫微分同胚是結構穩定的和拓撲穩定的。
微分動力系統
微分動力系統是微分流形上由常微系統或微分同胚生成的動力系統。研究的核心內容是結構穩定性和Ω穩定性的特徵性質。它起源於常微分方程結構穩定性的研究。雖然1937年，安德羅諾夫(Андронов，А.А.)與龐特里亞金(Понтрягин，Л.С.)就提出此概念，但直到1959至1962年佩克索托(Peixoto，M.)得出二維閉曲面上C常微系統結構穩定的充分必要條件以及稠密性定理(參見“佩克索托定理”)，結構穩定的研究才受到足夠重視。以斯梅爾(Smale，S.)為代表的西方學者們研究高維流形的C結構穩定系統與Ω穩定系統，由於該研究的複雜性，他們首先從流形上微分同胚生成的離散微分動力系統著手(這種系統通過扭擴可成為高一維流形上的常微系統)，主要是通過穩定流形理論與泛函分析方法。以佩克索托對二維流形結構穩定系統的特徵研究為藍本，斯梅爾將其推廣到一般流形上，稱之為莫爾斯-斯梅爾系統，並證明其為結構穩定的。但隨後舉出不屬於這種系統的結構穩定系統，例如，托姆環面雙曲自同構和安諾索夫微分同胚以及斯梅爾馬蹄，它們的周期點都是無窮多的。後來發現結構穩定系統一般不是稠密的。1967年，斯梅爾提出結構穩定性猜測和Ω穩定性猜測，這兩個猜測對C微分同胚和常微系統已獲解決。中國數學家廖山濤於20世紀60年代初開始進行微分動力系統的開創性的研究工作，他以微分拓撲與黎曼幾何為工具建立了典範方程組與阻礙集這兩個概念為核心的微分動力系統的研究體系，直接將常微系統(即向量場)按積分曲線上的活動標架展開為微分方程組加以研究，另闢一條研究微分動力系統的途徑，取得許多重要成果。微分動力系統的研究近年來逐漸涉及非穩定的課題，例如分岔和混沌等，有些研究與遍歷性交叉，出現微分動力系統的遍歷性理論。微分動力系統又分為C流、離散微分動力系統和離散微分半動力系統。
雙曲周期點
雙曲周期點又稱雙曲不動點，是可微映射具有局部結構穩定性質的不動點。它的常見定義是在一般黎曼流形上給出。設U是黎曼流形M的開集，p∈U是f∈C(U，M)的不動點。若Df(p)：TM→TM是雙曲線性映射，則稱p是f的雙曲不動點。在一般巴拿赫空間中，它的定義是：設(E，‖·‖)是巴拿赫空間，U⊂E是開集，p∈U是f∈C(U，E)的不動點。若Df(p)：E→E是雙曲線性映射，則稱p是f的雙曲不動點。在局部坐標卡下，前一定義是後一定義的特款。雙曲不動點在C小擾動下不會消失的動力行為在結構穩定性研究中有著重要的作用，例如，在雙曲不變集及安諾索夫系統的結構穩定性的證明中就是如此。緊流形上的不動點都是雙曲的微分同胚集合在全體微分同胚空間中是開稠的。若p是f的周期為k的周期點，並且p是f的雙曲不動點，則稱p是f的雙曲周期點。
微分同胚
微分同胚是微分流形之間的一類同胚映射。它與它的逆映射都是可微的。設M，N均為微分流形，對於映射f：M→N，若f是同胚映射，並且f，f都是C可微映射，則稱f為M到N上的C微分同胚。C微分同胚f：M→N簡稱M到N上的微分同胚。對於微分流形M，N，若存在(C)微分同胚f：M→N，則稱M與N是(C)微分同胚的微分流形，記為MN.“”是微分拓撲學中的基本等價關係。微分拓撲的基本任務是研究微分流形在微分同胚下保持不變的性質，以及尋求在怎樣的條件下兩個微分流形是微分同胚的。米爾諾(Milnor，J.W.)於1956年證明，在S上至少存在兩個不微分同胚的微分構造。後來證實，S上恰好有15個這樣的不同的微分構造。
設E與F為R或C上的兩個賦范向量空間，U，V分別為E與F的開集。稱從U到V中的映射f是(C類的)微分同胚，如果這個映射本身及其逆映射都是雙射，而且是連續可微的。
設p為大於1的整數. 稱f是Cp-微分同胚，如果f及其逆映射都是雙射，而且是Cp類的映射。為使微分同胚f是Cp-微分同胚，只須f是C類的。
C∞-微分同胚的定義可同樣給出。
黎曼流形
黎曼流形是一黎曼度量的微分流形。設M是n維光滑流形，若在M上給定一個光滑的二階協變張量場g，稱(M，g)為一個n維黎曼流形，g稱為該黎曼流形的基本張量或黎曼度量，如果滿足：
1.g是對稱的，即：
g(X，Y)=g(Y，X) (X，Y∈TM，p∈M).
2.g是正定的，即：
g(X，X)≥0 (X∈TM，p∈M)，
且等號僅在X=0時成立。
簡單地說，黎曼流形就是給定了一個光滑的對稱、正定的二階張量場的光滑流形。
