定義
集族（family of sets）是由具有某種性質的一些集合所構成的集合，即“集合的集合”。例如，平面上的圓盤是集合，因此平面上一切圓盤所成的集合就是一個集族。又如一個集合的一切子集所構成的集合也是一個集族。
集族
集族
集族
集族集族是以集合為元素構成的集合。集族常用花體字母表示，這裡我們使用 來表示集族。集合之間關係的定義和運算規律同樣適用於集族。如 為集族 的可列並， 。
幾種常用集族
下面我們介紹幾種常用的集族。
| 集族類別 | 等價定義 | 對運算的特性 |
| 半環 | 對交封閉，差為有限不相交並 | |
| 環 | 對“U”“\”封閉 對“U”“△”封閉 對“∩”“△”封閉 對“∩”，不相交並，包含差封閉 | 對一切有限 運算封閉 |
| 代數 | 含X的環 對“U” 余“ ' ’”封閉 對“∩” 余“ ' ’”封閉 | 含X且對一切有 限運算封閉 |
| σ-代數 | 對  集族 | 含X且對一切可 列運算封閉 |
半環
集族定義1 設 為一集族，且滿足下列三個條件。
集族1)
集族
集族2) 若 ，則
集族
集族3) 若 且 則
集族
集族 集族
集族 集族其中每一個 均屬於 且 則稱 為 半環 。
集族 集族
集族 集族顯然若 為半環，那么 中任二元素A，B之差 必能表為 中有限個兩兩不相交的集之並。
集族
集族例1 記全體實數所成的集為R； 且 ，那么我
們把集
集族稱為R中的 左閉右開區間，簡稱半開閉區間，R中全體半開區間構成一個半環。
例2 設R 為n維實數空間(即n維歐幾里得空間)，又設
集族
集族
集族為 中兩元素且 那么 Rn滿足下列關係
集族
集族的元素 所組成的集稱為R 中的半開閉區間。
R 中全體半開閉區間構成一個半環。
集族 集族
集族 集族例3 設X為任意集，用 (X)表示X中全體子集組成的集族，則 (X)為半環，只含 集的集族{ }亦是一個半環。
集族例4 設X為任意集，X中全體單點集連同 集構成一個半環。
環
集族
集族
集族 集族定義2 設 為不空集族，且滿足下述條件：若 ，則 ，那么我們稱 為 環．換句話說：如果一個非空集族對於並及差兩種運算是封閉的，那么它就是一個環。
例3中的集族也是環。
例5 設X是無窮集，則由X中一切有限子集組成的集族是環。
容易證明， 凡環必是半環，反之半環不一定是環．上面例1，例2及例4中的集族均是半環，但它們都不是環。
集族 集族定理1 設 為不空集族，則下列1) 2) 3)都是使 為環的充要條件：
集族
集族
集族1) 若 ，則 ， ；
集族
集族 集族2) 若 ，則 ， ；
集族 集族3) 若 ，則 ，
集族
集族 集族若 且 ，則 ，
集族
集族
集族若 且 ，則 。
集族
集族 集族推論1 若 為環，則 且 對有限個集之並，交及兩集之差，對稱差運算封閉。
代數
定義3 含X的環稱為代數，由定理1的推論及
集族可知：代數對於有限個集之並及交，兩集之差及對稱差，余集等運算是封閉的。
集族顯然例3中的集族 (X)是代數。
倒6 設X是無窮集，X中全體有限子集及余集是有限集的集所組成的集族是一個代數。
集族 集族顯然代數是環，反之環未必是代數，而且若 是環，那么由X和 中的集組成的集族也未必是代數．事實上例5中的集族是環但非代數，而且該集族增添元素X後所得的集族也不是一個代數，因為它對余運算不封閉。
集族定理2 設 為不空集族，則下列命題等價：
集族1) 含X的環；
集族
集族
集族
集族2) 對並及余運算封閉，即若 ，則 ， ；
集族 集族
集族 集族3) 對交及余運算封閉，即若 ，則 ， 。
σ-代數
集族定義4假設 是Ω上的非空集族，如果：
集族(1) ；
集族
集族(2)它對於補運算封閉，即 ，有 ；
集族
集族(3)它對於可列並運算封閉，即 有 。
集族
集族則稱 是Ω上的 (西格瑪)-代數(algebra)或者 域(field)。
集族 集族 集族例7由 Ω和 兩個集合組成的集族是 -代數。因為它們的補和可列並運算結果仍然是Ω和 。
集族 集族
集族 集族 集族(2)假設A是Ω的非空子集， 是任一包含A的-代數，那么 稱為包含A的最小 -代數，有時也稱為由A生成的-代數。
集族
集族 集族 集族 集族 集族(3)設Ω是全體實數R，令是R中一切開區間( )生成的 -代數(一切閉區間也可以)，稱為R中的波雷耳(Borel) -代數，記為 (R)， 中的元素(集合)稱為R中的波雷耳集。
