概念介紹
阿基米德半群 阿基米德半群 阿基米德半群 阿基米德半群阿基米德半群(Archimedean semigroup)是單半群的一種推廣。半群S，若對任意a，b∈S，存在n使得a∈SbS(a∈Sb，a∈bS，a∈bS∩Sb)，則稱S為阿基米德的(左阿基米德的，右阿基米德的，t阿基米德的)。它是單半群(左單半群，右單半群)的推廣。阿基米德半群S是單半群的冪零擴張，若且唯若S含正則元。
阿基米德半群是以古希臘著名數學家和物理學家阿基米德命名而來。
人物簡介
阿基米德是古希臘物理學家和數學家。靜力學和流體力學的奠基人。公元前287年生於西西里島的敘拉古。父親是天文學家和數學家。少年時在亞歷山大里亞城學習。讀書期間對力學、天文學、數學產生了濃厚的興趣，並表現出非凡的才幹。
公元前240年他作了敘拉古國王的顧問。在此期間用他學到的知識解決了大量生產實踐、軍事技術方面的難題。傳說國王把黃金交給工匠製作王冠，王冠製成後國王疑心裏面摻假，即召見阿基米德來鑑定，他冥思苦想，終於在進入澡盆洗澡時發現水面上浮，由此總結出他排開水的重量與他身體相等。這樣他解決了國王的疑點，並提出確立浮力大小的著名的阿基米德定律。他還推出了槓桿原理，解決了許多生產實踐問題。對這個原理他深信不疑，並聲稱：“假如給我一個支點，我就能推動地球”。在《論平面圖形的平衡》一書中進一步確定了各種平面圖形的重心。
阿基米德一生的主要興趣和研究方向是在純幾何學方面。他推出了各種幾何圖形的面積、物體的表面積和體積公式。他自己認為發現圓柱體容積和它的內接球體的容積的比例是他平生最大的成就。他創立的“窮竭法”是現代微積分的先導。
他一生曾有許多發明用於生產實踐。為解決尼羅河水灌溉問題，他發明了“阿基米德螺鏇”，即圓筒狀螺鏇揚水器。他設計的槓桿加滑輪裝置用很小的力將大船拉到水裡。他發明的作戰器械把羅馬入侵者阻止於敘拉古城外達三年之久。他還曾讓許多士兵手執凹面鏡會聚陽光燒毀了羅馬軍隊的木製戰艦。
公元前212年敘拉古城失陷。正在聚精會神地研究幾何圖形的阿基米德不幸被一羅馬士兵殺死。直到公元前75年他的墳墓才被當時擔任西西里財政官的西塞羅發現。並虔誠地做了修繕。多年後羅馬人在他的墓地建造了圓球內切於圓柱體的藝術造型，紀念他一生對幾何學的傑出貢獻。
公元1670年，牛津出版了《阿基米德遺著全集》，收集了他一生的全部著作。
群
設G是一個非空集合，G上有一個叫做乘法的代數運算，即有一個G×G到G的映射，對a，b∈G，(a，b) 在這個映射之下的象記作ab，如果以下條件被滿足，則稱G是一個群： (1) 對於任意的a，b，c∈G，(ab)c=a(bc)。(2)對任意的a，b∈G，方程ax=b，ya=b在G中有解。設G是一個群，存在唯一的元素e∈G使得對任意的a∈G，ea=ae=a，e稱為G的單位元。對任何a∈G，存在唯一的元素a∈G，使得aa=aa=e，a稱為a的逆元。一個群的元素個數如果是有限的，則稱這個群是有限群，否則，這個群稱為無限群。有限群的元素個數稱為這個群的階。對於群G的元素a，使得a=e的最小正整數m稱為a的階，這裡a表示m個a相乘的積，如果不存在這樣的正整數m，則稱a是無限階的。
設G，G是兩個群，是G到G的一個映射，如果對任意的a，b ∈ G，(ab)=φ(a)φ(b)，則稱φ是群G到G的同態。群G到G的同態φ如果是單射(滿射)，則稱φ是單同態(滿同態)，如果φ還是個一一映射，則稱是一個同構，而且稱群G與G是同構的，記作G≌G。如果一個非空集合A到自身的一些一一映射在映射的複合運算下作成一個群，這種群稱為變換群。凱萊定理指出，每個群都與一個變換群同構。有限集合到自身的一一映射稱為置換，n個元素的集合的全體置換做成的群稱為n次對稱群，記作S。設G是一個群，a∈G，規定對於正整數m，(a-1)=a，a=e，則對任何整數n，a有意義。設G是一個群，如果存在a∈G，使得G={a|n為整數}，則稱G為循環群，記作G=(a)，a稱為G的一個生成元。設G=(a)，如果a的階無限，則G與全體整數在加法運算之下做成的群同構。如果a的階為正整數n，則G與模n的剩餘類在加法運算之下做成的群同構。設G是一個群，H是G的子集，如果H對於G的運算也做成一個群，則稱H是G的一個子群。設H是群G的一個子群，對任意的a∈G，定義aH={ah|h∈H}，Ha={ha|h∈H}，aH和Ha分別稱為子群H的一個左陪集和右陪集。若G是有限群，則H的左、右陪集的個數都等於|G|/|H|。從而有限群G中每個元素的階都是G的階的因子。設H是群G的子群，如果對任意的a∈G，aH=Ha，則稱H是G的正規子群，或不變子群。設H是G的一個正規子群，H的左陪集全體記作G/H，對任意的aH，bH ∈ G/H，定義 (aH) (bH) = (ab) H，則G/H也做成一個群，這個群稱為G的一個商群，映射π： G→G/H，a→aH，是一個滿同態。設φ是群G到群G的同態，Kerφ= {a∈G|φ(a)=e}稱為φ的核。φ(G)={φ(a)|a∈G1} 稱為的象，Ker是G的正規子群，(G)是G的子群，並且(G)≌G/Kerφ。
半群
半群是最簡單、最自然的一類代數系統。一個非空集合S連同定義在它上面的一個結合的(即滿足結合律的)二元運算“·”的代數系統(S，·)稱為一個半群。半群(S，·)簡記為S。
半群是群的推廣。群自然是半群；反之顯然未必。半群也是環的推廣。環在只考慮它的乘法運算的時候是一個半群，稱為環的乘半群；但任何一個帶零半群卻未必是某個環的乘半群。半群代數理論的系統研究始於20世紀50年代(雖然，這方面的工作可追溯到1904年蘇士凱維奇(Suschkwitz，A.K.)關於有限半群的論文)。在數學內部和外部的巨大推動下，半群理論已成為代數學的一個公認的分支學科，並早已以其特有的方法獨立於群論和環論之外.在20世紀60年代，蘇聯和美國率先出版了兩本專著，利雅平(Ляпин，E.C.)的《半群》和克利福德(Clifford，A.H.)與普雷斯頓(Preston，G.B.)的兩卷《半群代數理論》，這對半群代數理論的發展，在國際上起了巨大的推動作用。由德國斯普林格出版社出版的《半群論壇》更是有關半群理論的一個重要的國際性專門刊物。許多數學家在世界各地開展半群理論的研究和各層次高級人才的培養(直到博士後)。半群代數理論是半群理論中最基本、最活躍、也最富成果的一部分。此外，尚有半群的分析、拓撲和序理論。
單群
單群是一類重要的群。即不含非平凡正規子群的群。若群G≠{e}，且除{e}及G本身外不再含其他的正規子群，則稱G為單群。若此時G還是有限群，則稱G為有限單群。有限單群的例子有：素數階群，交錯群A，n≥5。有限單群的研究是有限群論中一個十分活躍的領域。
單半群
單半群是一類似於單群的半群。不含零的半群S，若不含任何真理想，則稱S為單的。不含零的半群S，若不含任何真左(右)理想，則稱S為左(右)單的。含零的半群，若{0}和S本身是它的僅有的理想，且S≠{0}，則稱S為零-單的。
半單群
半單群是一類特殊的群。沒有異於1的交換正規子群的有限群。設G是有限群，若G是擬單群的中心積或G=1，則稱G為半單群。例如，有限非交換單群的直積為半單群。有限群G具有一個惟一的極大正規半單子群，稱為G的層，記為L(G)。
