簡介
在泛函分析中，開映射是一類特殊的映射。如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的，那么它就是一個開映射(open mapping)。
如果X和Y是巴拿赫空間，A: X → Y是一個滿射的連續線性運算元，那么A就是一個開映射（也就是說，如果U是X內的開集，那么A(U)在Y內是開放的）。
該定理的證明用到了貝爾綱定理，X和Y的完備性都是十分重要的。如果僅僅假設X或Y是賦范空間，那么定理的結論就不一定成立。然而，如果X和Y是弗雷歇空間，那么定理的結論仍然成立。
性質
（1）從離散空間到離散空間的任何映射都是開映射；
開映射
開映射證明：設
為離散空間 X 到離散空間 Y 的映射， 對 X 中任一開集 U， 因為Y是離散空間， 所以是 Y 中的一個開集，即 f 是一個開映射。
（2）從平庸空間到離散空間的任何映射都是開映射；
開映射
開映射
開映射證明：設 f: X→Y為平庸空間X到離散空間Y的映射， 因為 包含於Y， 而Y為離散空間， 所以 和 為 Y 中的開集，即f是一個開映射。
開映射 開映射（3）設 X 和 Y 是兩個拓撲空間，映射 為同胚，則映射 為一個開映射。
開映射
開映射 開映射
開映射 開映射證明：設U是X的任意開集，由於映射 為同胚， 則 也是同胚， 因而 是連續映射。對X的任意開集U，有 為 Y 中的開集，從而 為一個開映射。
開映射 開映射（4）設X和Y是兩個拓撲空間，映射為一一映射，若 f 為連續的開映射，則為同胚。
開映射 開映射 開映射 開映射 開映射證明：欲證明 為同胚， 由已知條件， 只需證明連續即可。對X中的任意開集U有。由於f為開映射，故為 Y 中的開集，從而說明連續。
開映射這樣即有如下結論：X和Y是兩個拓撲空間，為同胚的充要條件是f為一一的連續開映射。
開映射
開映射
開映射（5）設 X，Y 和 Z 是拓撲空間，映射和都為開映射，則也為開映射。
開映射 開映射 開映射
開映射
開映射
開映射 開映射證明：設W為Z中的任意開集， 由
為開映射有為Y中的開集， 再由為開映射得為 Z 中的開集． 而， 所以為 Z 中的開集， 這就證明了為開映射。
開映射（6）設 X 和 Y 是兩個拓撲空間，
是一個滿的連續開映射，則Y的拓撲是相對於滿射f而言的商拓撲。
推論
開映射
開映射（1）如果 是巴拿赫空間X和Y之間的雙射連續線性運算元，那么反函式 也是連續的。
開映射
開映射
開映射
開映射（2）如果 是巴拿赫空間X和Y之間的線性運算元，且如果對於X內的每一個序列 ，只要 且 就有y = 0，那么A就是連續的（閉圖像定理）。
開映射定理
概述
開映射定理是指如果巴拿赫空間之間的連續函式是滿射的，那么它就是一個開映射。
證明
開映射我們需要證明，如果是巴拿赫空間之間的連續線性滿射，那么A就是一個開映射。為此，只需證明A把X內的單位球映射到Y的原點的一個鄰域。
設U，V分別為X和Y內的單位球。那么X是單位球的倍數kU的序列的並集，k∈ N，且由於A是滿射，
開映射
開映射
開映射
開映射
開映射根據貝爾綱定理，巴拿赫空間Y不能是可數個無處稠密集的並集，故存在k > 0，使得A(kU)的閉包具有非空的內部。因此，存在一個開球B(c, r)，其中心為c，半徑r > 0，包含在A(kU)的閉包內。如果v∈ V，那么c + rv和c位於B(c, r)內，因此是A(kU)的極限點，根據加法的連續性，它們的差rv是包含於的極限點。根據A的線性，這意味著任何都位於A(δU)的閉包內，其中δ = r/ (2 k)。於是可以推出，對於任何和任何ε > 0，都存在某個，滿足：
開映射並且
開映射
開映射固定y\in V。根據上式，存在某個x_1，滿足| | x| |且||y − A x||<δ / 2。定義序列如下。假設：
開映射並且
開映射我們可以選擇 x，使得：
開映射且
開映射因此 x滿足。設
開映射 開映射
開映射從第一個不等式可知，{s}是一個柯西序列，且由於X是完備的，s收斂於某個。序列趨於y，因此根據A的連續性，有Ax=y。而且：
開映射
開映射這表明每一個都屬於A(2U)，或等價地，X內的單位球的像A(U)包含了Y內的開球(δ / 2) V。因此，A(U)是Y內0的鄰域，定理得證。
開映射定理的推廣
X 或Y 的局部凸性不是十分重要的，但完備性則是：當X和Y是F空間時，定理仍然成立。更進一步，這個定理可以用以下的方法與貝爾綱定理結合：
開映射設X為F空間，Y為拓撲向量空間。如果是一個連續線性運算元，那么要么A(X)是Y內的貧集，要么A(X)= Y。在後一個情況中，A是開映射，Y也是F空間。
更進一步，在這個情況中，如果N是A的核，那么A有一個標準分解，形如下式：
開映射其中X/N是X對閉集N的商空間（也是F空間）。商映射X→X/N是開放的，且映射α是拓撲向量空間的同構。
