錯位加法

錯位加法是常用的數列求和方法。

錯位加減法

數列求和的常用方法:公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。關鍵是找數列的通項結構。

28、分組法求數列的和:如an=2n+3n

29、錯位相減法求和:如an=(2n-1)2n

30、裂項法求和:如an=1/n(n+1)

31、倒序相加法求和:如an=

32、求數列{an}的最大、最小項的方法:

① an+1-an=…… 如an= -2n2+29n-3

② (an>0) 如an=

③ an=f(n) 研究函式f(n)的增減性 如an=

33、在等差數列 中,有關Sn 的最值問題——常用鄰項變號法求解:

(1)當 >0,d<0時,滿足 的項數m使得 取最大值.

(2)當 <0,d>0時,滿足 的項數m使得 取最小值。

在解含絕對值的數列最值問題時,注意轉化思想的套用。

例題

求和Sn=x+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)(x≠0)

當x=1時,Sn=1+3+5+…+(2n-1)=n^2;

當x不等於1時,Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1);

∴xSn=x+3x^2+5x^3+7x^4+…+(2n-1)*x^n;

兩式相減得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2+x^3+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n;

化簡得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

兩邊同時乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同,這樣寫看的更清楚些)

兩式相減

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

錯位相減法是求和的一種解題方法。在題目的類型中:一般是a前面的係數和a的指數是相等的情況下才可以用。這是例子(格式問題,在a後面的數字和n都是指數形式):

S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan (1)

在(1)的左右兩邊同時乘上a。 得到等式(2)如下:

aS= a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1 (2)

用(1)—(2),得到等式(3)如下:

(1-a)S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1 (3)

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

S=a+a2+a3+……+an-1+an用這個的求和公式。

(1-a)S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1

最後在等式兩邊同時除以(1-a),就可以得到S的通用公式了。

例子:求和Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方(x不等於0)

解:當x=1時,Sn=1+3+5+…..+(2n-1)=n平方

當x不等於1時,Sn=Sn=3x+5x平方+7x三次方+……..+(2n-1)乘以x的n-1次方

所以xSn=x+3x平方+5x三次方+7x四次方……..+(2n-1)乘以x的n次方

所以兩式相減的(1-x)Sn=1+2x(1+x+x平方+x三次方+。。。。。+x的n-2次方)-(2n-1)乘以x的n次方。

化簡得:Sn=(2n-1)乘以x得n+1次方 -(2n+1)乘以x的n次方+(1+x)/(1-x)平方

Cn=(2n+1)*2^n

Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n

2Sn= 3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)

兩式相減得

-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)

=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1) (等比數列求和)

=(1-2n)*2^(n+1)-2

所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2

錯位相減法

這個在求等比數列求和公式時就用了

Sn= 1/2+1/4+1/8+....+1/2^n

兩邊同時乘以1/2

1/2Sn= 1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同,這樣寫看的更清楚些)

兩式相減

1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)

Sn=1-1/2^n

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