量子諧振子:在量子力學裡，量子諧振子（英語：quantum harmon -百科知識中文網

一維諧振子

哈密頓算符與能量本徵態

在一維諧振子問題中，一個質量為 m的粒子，受到一位勢。此粒子的哈密頓算符為

其中 x為位置算符，而 p為動量算符。第一項代表粒子動能，而第二項代表粒子處在其中的勢能。為了要找到能階以相對應的能量本徵態，必須解所謂的“定態薛丁格方程”：

在坐標基底下可以解這個微分方程，用到冪級數方法。可以見到有一族的解：

最先六個解（ n= 0到5）展示在右圖。函式為埃爾米特多項式：

注意到不應將之與哈密頓算符搞混，儘管哈密頓算符也標作 H。相應的能階為

值得注意的是能譜，理由有三。首先，能量被“量子化”（quantized），而只能有離散的值——即乘以1/2, 3/2, 5/2……等等。這是許多量子力學系統的特徵。在爾後的“階梯算符”段落，將對此現象做更詳細的檢視。再者，可有的最低能量（當 n= 0）不為零，而是，被稱為“基態能量”或零點能量。在基態中，根據量子力學，一振子執行所謂的“零振動”（null oscillations）且其平均動能是正值。這樣的現象意義重大但並不那么顯而易見，因為通常能量的零點並非一個有意義的物理量，因為可以任意選擇；有意義的是能量差。雖然如此，基態能量有許多的意涵，特別是在量子引力。最後一個理由式能階值是等距的，不像玻爾模型或盒中粒子問題那樣。

注意到基態的機率密度集中在原點。這表示粒子多數時間處在勢阱的底部，合乎對於一幾乎不帶能量之狀態的預期。當能量增加時，機率密度變成集中在“經典轉向點”（classical turning points），其中狀態能量等同於勢能。這樣的結果與經典諧振子相一致；經典的描述下，粒子多數時間處在（而更有機會被發現在）轉向點，因為在此處粒子速度最慢。因此滿足對應原理。

階梯算符方法

前述的冪級數解雖然直觀，但顯得相當繁複。階梯算符方法起自保羅·狄拉克，允許抽像求得能量本徵值，而不用直接解微分方程。此外，此法很容易推廣到更複雜的問題，尤其是在量子場論中。跟從此方法，定義算符 a與其伴隨算符（adjoint） a：

算符 a並非厄米算符（Hermitian），以其與伴隨算符 a並不相同。

算符 a與 a有如下性質：

在推導 a形式的過程中，已用到算符 x與 p（代表可觀測量）為厄米算符這樣的事實。這些可觀測量算符可以被表示為階梯算符的線性組合：

x與 p算符遵守下面的等式，稱之為正則對易關係：

方程中的方括弧是常用的標記機器，稱為交換子、 交換算符或 對易算符，其定義為

利用上面關係，可以證明如下等式：

現在，讓代表帶有能量 E的能量本徵態。任何右括矢量（ket）與自身的內積必須是非負值，因此

將 a a以哈密頓算符表示：

因此。注意到當（）為零右括矢量（亦即：長度為零的右括矢量），則不等式飽和而。很直觀地，可以檢查到存在有一狀態滿足此條件——前面段落所提到的基態（ n= 0）。

利用上面等式，可以指出 a及 a與 H的對易關係：

因此要是（）並非零右括矢量，

類似地，也可以指出

換句話說， a作用在能量為 E的本徵態，而產生出——還多了一個常數乘積——另一個能量為的本徵態，而 a作用在能量為 E的本徵態，產生出另一個能量為的本徵態。因為這樣， a稱作降算符而 a稱作升算符。兩者合稱階梯算符。在量子場論中， a與 a也分別稱作消滅算符與創生算符，以其分別摧毀與創造粒子——對應於能量量子。

給定任何能量本徵態，可以拿降算符 a作用在其上，產生了另一個能量少了的本徵態。重複使用降算符，似乎可以產生能量本徵態其能量低到 E= −∞。不過這樣就就與早先的要求相違背。因此，必須有一最底的能量本徵態——基態，標示作（勿與零右括矢量混淆），使得（即 a對作用後產生零右括矢量（zero ket））。

在這情況下，繼續使用降算符只會產生零右括矢量，而不是產生額外的能量本徵態。此外，還指出了