簡介
里斯空間是一類有序線性空間。
上下確界
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 設E是有序線性空間， 。如果 ，則稱z是x和y的一個上界。進而，如果x和y的每個上界u都有 ，則稱z是x和y的最小上界，也稱為上確界或上端，記為sup(x,y)或 。類似地可以定義x和y的下界，下確界（下端），記為inf(x, y)或 。
定義
里斯空間 如果半序線性空間E中任何兩個元都有上、下確界，則稱E是里斯空間，此時E對運算 封閉，故也成為格序空間或向量格。
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 有時也分別稱運算 為並和交。記 ， ， ，分別稱為x的正部，負部和絕對值。滿足 的元稱為正元。
性質
在里斯空間中成立:
里斯空間 
里斯空間 1、 , 。
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 2、 對 ，有 ， 。
里斯空間 
里斯空間 3、 ，特別 。
里斯空間 
里斯空間 4、 ， 。
里斯空間 
里斯空間 5、 ， 。
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 
里斯空間 6、 等價於 ， （ 為實數）， 。
里斯空間 
里斯空間 7、 ，。
有序線性空間
有序線性空間是具有序結構的線性空間。有序線性空間這個概念首先由里斯(Riesz,F.)引入，他於1928年在波隆那國際數學家大會上的講演中奠定了半序線性空間這一泛函分析分支的理論輪廓。
設E是實線性空間，並且有序結構，即對E中某些向量對(x,y)有x≥y（或寫作y≤x），“≥”滿足如下條件：對任何x,y,z∈E及實數λ，
1.x≥x；若x≥y且y≥x,則x=y；若x≥y且y≥z,則x≥z。
2.著x≥y，則x+z≥y+z。
3.若x≥y，λ≥0，則λx≥λy，這時稱E是有序線性空間（或稱E是半序線性空間）。
