辛空間

辛空間(symplectic linear space)一種特殊的複線性空間.指帶非退化反對稱雙線性函式的有限維複線性空間。

數學中的辛空間，可能指：辛流形或者辛向量空間，後者是前者的一個特例。辛幾何是以面積為度量的，(歐氏幾何以長度為度量的)。

辛向量空間

數學中，一個辛向量空間是帶有辛形式 ω 的向量空間 V，所謂辛形式即一個非退化斜對稱的雙線性形式。

確切地說，一個辛形式是一個雙線性形式 ω ：V × V → R 滿足：

斜對稱：ω(u, v) = −ω(v, u)，對所有 u, v ∈ V 成立；
非退化：如果 ω(u, v) = 0 對所有 v ∈ V 成立，那么 u = 0 。
取定一組基，ω 能表示為一個矩陣。以上兩個條件表明這個矩陣必須是斜對稱非奇異矩陣。這不同於下面將介紹的辛矩陣，辛矩陣表示空間的一個辛變換。

如果 V 是有限維的那么維數必須為偶數，因為每個奇數階斜對稱矩陣的行列式為 0。

非退化斜對稱雙線性形式和非退化“對稱”雙線性形式，比如歐幾里德向量空間的內積，的表現非常不同。歐幾里德內積 g，對任何非零向量 v，均有 g(v,v) > 0 成立；但是一個辛形式 ω 滿足 ω(v,v) = 0 。

歐幾里德空間與辛空間的對比關係表

歐幾里德空間	辛空間
內積(a,b)——｛長度｝	內積<a,b>——｛面積｝
單位矩陣I	單位矩陣J
正交(x,y)=xTy(xTIy)=0	正交<x,y>=<xTJy>=0
(標準)正交基	(標準)共軛辛正交基
對稱矩陣AT=A	哈密頓矩陣HT＝jhj
實對稱矩陣的本徵值皆為實數	如果ß 是哈密頓矩陣的本徵值，－ß 也一定是。
實對稱矩陣不同本徵值的本真向量必正交	哈密頓矩陣非辛共軛本徵值的本徵向量必辛正交
由實對稱矩陣本徵向量可組成一組標準正交基	由哈密頓矩陣本徵向量可組成一組標準共軛辛正交基
正交矩陣QT Q=I	辛矩陣STJS=J
對稱變換(a,Ab)=(b,Aa)	哈密頓變換<a,Hb>=<b,Ha>

參考

^ 不同作者有不同偏好。
Ralph Abraham and Jarrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London ISBN 0-8053-0102-X See chapter 3.
J.柯歇爾、鄒異明，辛幾何引論，科學出版社，1999年2月。