超越數[數學概念]

超越數[數學概念]
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超越數的存在是由法國數學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早證明的。關於超越數的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個無限小數：a=0.110001000000000000000001000…（a=1/10^1!+1/10^2!+1/10^3!+…），並且證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數，所以把數a稱為劉維爾數。

基本信息

定義

超越數是指不滿足任何整係數(有理係數)多項式方程的實數，即不是代數數的數。因為歐拉說過：“它們超越代數方法所及的範圍之外。”(1748年)而得名。

幾乎所有的實數都是超越數。

1844年，劉維爾(J.liouville，法，1809—1882)首先證明了超越數的存在性。厄米特與林德曼先後證明了e與π為超越數。

難題

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超越數是不能滿足任何整係數代數方程的實數，定義恰與代數數相反。兩個著名的例子：圓周率π=3.1415926535…|自然對數的底e=2.718281828…可以證明超越數有無窮個。在實數中除了代數數外，其餘的都是超越數，但是超越數不一定是實數，比如著名的歐拉公式中的即是一個虛超越數。實數可以作如下分類：實數分為實代數數、實超越數。所有超越數構成的集是一個不可數集。這暗示超越數為無窮數集。可是，現今發現的超越數極少，因為要證明一個數是超越數是十分困難的。

證明

劉維爾數證明後，許多數學家都致力於對超越數的研究。1873年，法國數學家埃爾米特（Charles Hermite，1822—1901）又證明了自然對數底e的超越性，從而使人們對超越數的認識更為清楚。1882年，德國數學家林德曼證明了圓周率也是一個超越數（完全否定了“化圓為方”作圖的可能性）。

在研究超越數的過程中，大衛·希爾伯特曾提出猜想：a是不等於0和1的代數數,b是無理代數數，則a^b是超越數（希爾伯特問題中的第七題）。

這個猜想已被證明，於是可以斷定e、π是超越數。

常見形式

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實數中除代數數以外的數，亦即不滿足任一個整係數代數方程 （n為正整數， ≠0）的數。理論上證明超越數的存在並不難，而且可知超越數是大量的。但要構造一個超越數或論證某個數是超越數就極為困難。現今只有少量的數如π，e，等的超越性得到了證明，對其他一些有興趣的數的超越性的研究是數學家十分關注的事。

數例

π

π，在我國叫又環率、圓率、圓周率等。

最先得出π≈3.14的是希臘的阿基米德（約公元前240年），最先給出π小數後面四位準確值的是希臘人托勒密（約公元前150年），最早算出π小數後七位準確值的是我國的祖沖之（約480年），1610年荷蘭籍德數學家魯道夫套用內接和外切正多邊形計算π值，通過2 邊形計算π到35位小數，花費了畢生精力，1630年格林貝格利用斯涅耳的改進方法計算π值到39位小數，這是利用古典方法計算π值的最重要嘗試。

以上都是古典方法計算π值。

達什首先計算出π的準確的200位數字。

值得提出的是，達什1824年生於漢堡，只活了短短的37年，便離開了人世，他是一個閃電般的計算者，是一位最了不起的人工計算者，他曾在54秒鐘內便完成了兩個8位數的乘法，在6分鐘內完成了兩個20位數的乘法，在40分鐘內完成了兩個40位數的乘法；他曾在52分鐘內算出一個100位數的平方根。達什的這種非凡的計算才能在他製作7位對數表和從7000000到10000000之間的數的因子表便得到了最有價值的充分的運用。

1706年，英國的威廉·姆士首先使用π這個符號，用來表示圓周和直徑的比值，但只是在歐拉於1737年採用了這方法以後，π才在這種情況下得到了普遍的套用。

1873年，英國人威廉·桑克斯利用麥新的公式計算π到70位。

1961年，美國的雷思奇和D·桑克斯用電子計算機得出π值的100000位數字。

e

在中學數學書中這樣提出：以e為底的對數叫做自然對數。那么e到底有什麼實際意義呢？

1844年，法國數學家劉維爾最先推測e是超越數，一直到了1873年才由法國數學家埃爾米特證明e是超越數。

1727年，歐拉最先用e作為數學符號使用，後來經過一個時期人們又確定用e作為自然對數的底來紀念他。有趣的是，e正好是歐拉名字第一個小寫字母，是有意的還是偶然巧合？現已無法考證！

e在自然科學中的套用並不亞於π值。像原子物理和地質學中考察放射性物質的衰變規律或考察地球年齡時便要用到e。

在用齊奧爾科夫斯基公式計算火箭速度時也會用到e，在計算儲蓄最優利息及生物繁殖問題時，也要用到e。

同π一樣，e也會在意想不到的地方出現，例如：“將一個數分成若干等份，要使各等份乘積最大，怎么分？”要解決這個問題便要同e打交道。答案是：使等分的各份儘可能接近e值。如，把10分成10÷e≈3.7份，但3.7份不好分，所以分成4份，每份為10÷4=2.5，這時2.5^4=39.0625乘積最大，如分成3或5份，乘積都小於39。e就是這樣神奇的出現了。

1792年，15歲的高斯發現了素數定理：“從1到任何自然數N之間所含素數的百分比，近似等於N的自然對數的倒數；N越大，這個規律越準確。”這個定理到1896年才由法國數學家阿達瑪和幾乎是同一時期的比利時數學家布散所證明。以e為底還有很多優越性。如以e為底編制對數表最好；微積分公式也具有最簡的形式。這是因為只有e^x導數就是其自身，即d/dx(e^x)=e^x。

意義

超越數的證明，給數學帶來了極大的變革，它證明了幾千年來數學上的難題——尺規作圖三大問題，即倍立方問題、三等分任意角問題和化圓為方問題都是尺規不能問題（無法用尺規證明的問題）。

各種形式

π和e的無窮級數形式

有趣的是，π和e可以用無窮級數表示：

π=4*(1/1-1/3+1/5-1/7+1/9-1/11+……)=4*∑((-1)^n/(1+2n)),n∈N

e=1/(0!)+1/(1!)+1/(2!)+1/(3!)+1/(4!)+1/(5!)+……. =∑1/(n!),n∈N

π的反正切函式形式

除了無窮級數形式，π還可以用反正切函式表示：

π=16arctan1/5-4arctan1/239

π=24arctan1/8+8arctan1/57+4arctan1/239

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