赫維茨多項式

赫維茨多項式是以 阿道夫·赫維茨 命名的，該多項式的根（或者說是零點）位於複平面的左半邊或者在虛軸上，即該多項式的每一個根的實部都是小於等於零的數。這種多項式一定有至少一個多項式係數是正實數。有時候這個概念會被進一步限定為根的實部都是小於零（排除根在虛軸上的部分）的多項式，被稱為赫維茨穩定多項式。在控制系統理論中有重要套用價值。

定義及性質

所有零點都位於復頻率s複平面的左半平面內的實係數多項式稱為赫維茨多項式。

設赫維茨多項式的一般形式為：

赫維茨多項式

它具有以下幾個性質：

1、所有係數都是正實數；

2、冪次齊全；

3、當它只有奇部或只有偶部時，其所有的根都共軛地出現在s複平面的jω軸上；

4、滿足模值定理：

Re s>0，　| H(s)>H(-s) |

Re s=0，　| H(s)=H(-s)|

Re s<0，　| H(s)<H(-s) |

赫維茨多項式的判斷準則

準則1：赫維茨多項式可分解為偶部E(s)和奇部O(s)，由奇部和偶部的比值可得電抗函式：

赫維茨多項式

式中的商和qi(i=1，…，n)都是正數。

上述公式是採用輾轉相除的方法得到的，如果一個多項式的奇部和偶部的比值能夠不中斷地輾轉除盡，且所得的商都是正數，則此多項式就一定是赫維茨多項式。

準則2：若矩陣

赫維茨多項式

為正定矩陣，則以矩陣中的元素作為係數的多項式為赫維茨多項式。