賈憲三角
正文
開方作法本源圖的今稱。中國北宋數學家賈憲所首創。西方稱之為帕斯卡三角，晚於賈憲六百多年。賈憲是北宋著名數學天文學家楚衍的弟子，作過左班殿直，活動在11世紀上半葉，他以劉徽、李淳風作注的《九章算術》為底本，撰《黃帝九章算法細草》九卷（《宋史·藝文志》），又撰《算法斅古集》二卷，均已失傳。所幸楊輝的著作中保存了他的兩項重要成就：賈憲三角和增乘開方法。
賈憲三角是一個指數為正整數的二項式定理係數表。楊輝在《詳解九章算法》中曾記載“釋鎖算書，賈憲用此術”。
原圖下面有五句話：“左衺乃積數,右衺乃隅算,中藏者皆廉，以廉乘商方，命實而除之。”前三句說明了賈憲三角的結構和它們在開方術中的作用。它的每一行中的數字依次表示二項式(α+b)n(n=0,1,2,…)展開式的各行係數。最外左、右斜線上的數字，分別是各次開方中積(αn)和隅算（bn）的係數，中間的數字“二”、 “三、三”、“四、六、四”等等，分別是各次開方中的廉(積、 隅、廉皆來自於古代開方術的幾何解釋。以開平方為例，初商α的平方，在圖形中是一個大正方形，稱為“積”，次商b的平方在圖形中是占據一角的小正方形，稱為“隅”，而2αb位於圖形的兩側邊，故稱為“廉”）。在賈憲三角後,附有“增乘方求廉法”:“列所開方數，以隅算一，自下增入前位至首位而止。復以隅算如前陞增，遞低一位求之。”根據“法”後註明的“草”，求開六次方的廉的程式如下：第一位1 1+5=6，第二位1 1+4=5 5+10=15，第三位1 1+3=4 4+6=10 10+10=20，第四位1 1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15，第五位1 1+1=2 2+1=3 3+1=4 4+1=5 5+1=6，最後得到的6、15、20、15、6就是六次方的各廉。用這種隨乘隨加的增乘過程，可以求任意次方的廉。
圖下面的後兩句話簡要說明了用各行係數進行開方的方法：以商的相應次方乘廉,去減實。如對數N開平方，用賈憲三角的第三層，確定初商α，得余實N-α2後,以初商乘廉，得2α；再定次商b，加次商於2α,乘以b,從余實 N-α2中減去，它的算式就是
N-α2=(2α+b)b。
同樣，開其他次方，亦可如法處理。說明當時中國數學家已把傳統的開方術推廣到開高次方。同時，求賈憲三角各廉的增乘步驟，可以直接用來開方，從而創造了高次方程數值解法的新途徑，這就是賈憲的另一成就增乘開方法。
元初朱世傑把賈憲三角由七層推廣到九層(八次冪)，為高階等差級數求和問題和高次招差法的發展，提供了有力的數學工具，賈憲三角對宋元數學的發展實有肇始之功。
