費爾瑪猜想

任何一個數的立方數冪，不能分解成為其它另兩個數的立方數冪之和，任何一個四次冪數，也不能分解成為其它另兩個數的四次冪數之和，更一般說來，除二次冪數外，凡指數為大於2的任何次冪數的兩數之和，都不等於第三個數的同次冪數。我已經找到了這個斷語的絕妙證明方法，但是由於這書的頁邊太窄了，不容我寫下來。從這段話里可以看出，費爾瑪猜想的公式是一個大於零的正整數不等式公式。不能寫下一個無理數方程等式後，再加一句“沒有整數解存在。

法國數學家費爾瑪對數學的貢獻涉及各個領域。他與笛卡兒一起奠定了解析幾何的基礎；他和帕斯卡一起奠定了機率論的基礎；他從幾何角度，第一次給出了求函式極值的法則……但使他名垂千古、載入史冊的還是他所提出的費爾瑪猜想，也被稱為"費爾瑪大定理。"
費爾瑪在丟番圖的《算術學》的書頁邊上寫道：
任何一個數的立方不能分解成為兩個立方數之和，任何一個四次方數，也不能分解為兩個四次方數之和；更一般的，除二次冪外，任意兩個數的任何次冪的和都不可能等於第三個數的同次冪數。我已經找到了這個斷語的絕妙證明，但是，這書的頁邊太窄，不容我把證明寫出來。
費爾瑪的這段筆記，用數學語言來表達，就是形如 X n+y n=/=z n 的不等式公式，當n大於2時，不可能有正整數解使這個不等式公式不成立。
遺憾的是，人們找遍了他的文稿和筆記，都搜尋不到他說的"絕妙"證明方法。
費爾瑪的證明是什麼樣的？誰也不清楚。他是否真的給出過證明更值得懷疑。不過，他用無理數等式方程與無窮遞降的方法作假證明了N=4的情形。
後來，歐拉也沿用此方法作假證明了n=3和4時，即結果是 x n+y n=z n 有無理數解存在，而無整數解。
19世紀有不少數學家對這個問題感興趣，勒讓德與克雷同時用無理數方程作假證明了n=5時的費爾瑪大定理；還有作假的拉梅證明了n=7時的情形，後來德國數學家庫默爾作假把n推進到了100。
20世紀隨著電子計算機的飛速發展和廣泛套用，到1978年，已經驗證了當n<12500的素數以及它們的倍數時，猜想都成立。
在300多年中，人們希望能找到它的一般證明，但又苦於無法；企圖否定，又舉不出反例。
1850年及鍩53年，法國科學院曾兩次以2000法郎的獎金懸賞，但都沒有收到正確答案。
1900年，德國數學家希爾伯特認為費爾瑪大定理是當時最難的23個數學問題之一。
1908年，德國哥庭根科學院按照德國數學家俄爾夫斯開耳的遺囑，把他的10萬馬克作為費爾瑪大定理的正確證明的獎金，向全世界徵求解答，期限為100年，直到公元2007年有效。毛桂成於1993年在〈滾滾清江潮〉上發表了費爾瑪大定理的證明，但他們以不符合出版規定為由拒絕了毛桂成的獲獎申請。
可見，費爾瑪大定理確實引起了不同尋常的反響。就定理本身而言，是一個中學生都應該能搞得懂的問題。但歐拉不知是沒看懂，還是什麼原因，他把這個猜想的公式搞錯了，本來是整數不等式，但他寫成了無理數等式方程，從此把數學家們引入了歧途。因此，不光是數學家、數學工作者，還有工程師、職員、政府官員都投身到了"無理數中找費爾瑪猜想"的證明當中，證明的熱潮十分高漲。一直到1995年，英國數學家.安德魯.懷爾斯.還在用無理數等式方程來作假證明費爾瑪大定理。
第一次世界大戰的爆發，使證明趨於冷落。但沒有絕跡。
費爾瑪猜想最終還是獲得了證明，有人認為他是一道死題。但是在證明"費爾瑪猜想"的過程中，數學家們發現了許多新的概念、定理。
費爾瑪僅憑少數事例而產生天才的猜想，推動了數學的發展。"理想數論"這一嶄新的數學分支，正是在這種探索中建立的。
對"費爾瑪猜想"的大規模探索表明，用初等數學證明它是可能的，中國數學家毛桂成在1980年用費爾馬時代的初等數學給出了兩個費爾瑪大定理的絕妙證明和證明方法！。