理論提出
十七世紀後期，艾薩克·牛頓（Isaac Newton)、戈特弗里德·威廉·萊布尼茨（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）創立微積分學，成為解決眾多問題的重要而有力的工具，並在實際套用中獲得了巨大成功，然而，微積分學產生伊始，迎來的並非全是掌聲，在當時它還遭到了許多人的強烈攻擊和指責，原因在於當時的微積分主要建立在無窮小分析之上，而無窮小後來證明是包含邏輯矛盾的。
貝克萊悖論1734年，大主教喬治·貝克萊(George Berkeley) “渺小的哲學家”之名出版了一本標題很長的書《分析學家；或一篇致一位不信神數學家的論文，其中審查一下近代分析學的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘、信仰的要點有更清晰的表達，或更明顯的推理》。在這本書中，貝克萊對牛頓的理論進行了攻擊。例如他指責牛頓，為計算比如說x的導數，先將
取一個不為0的增量Δx，由(x + Δx) − x，得到2xΔx + (Δx) ，後再被Δx除，得到2x + Δx，最後突然令Δx = 0 ，求得導數為2x 。這是“依靠雙重錯誤得到了不科學卻正確的結果”。因為無窮小量在牛頓的理論中一會兒說是零，一會兒又說不是零。因此，貝克萊嘲笑無窮小量是“已死量的幽靈”。貝克萊的攻擊雖說出自維護神學的目的，但卻真正抓住了牛頓理論中的缺陷，是切中要害的。
簡介
數學史上把貝克萊的問題稱之為“貝克萊悖論”。籠統地說，貝克萊悖論可以表述為“無窮小量究竟是否為0”的問題：就無窮小量在當時實際套用而言，它必須既是0，又不是0。但從形式邏輯而言，這無疑是一個矛盾。
對於無窮小量所帶來的數學本身非邏輯非嚴謹性的問題,那些曾具體從事微積分研究的數學家們早就有過這樣或那樣的思考,在他們之間並展開過激烈的討論和爭論。從數學的角度看,如何較好地理解這一問題或許可以被看成一個純技術性的問題;但是,從文化的角度看,我們又只有從更為廣泛的角度去進行考察,特別是密切聯繫當時在歐洲人生活中占重要地位的基督教文化,才能更好地理解圍繞無窮小運算所展開的激烈爭論及其內涵。
人物簡介
英國主觀唯心主義哲學家、主教。1685年3月12日出生於愛爾蘭基爾肯尼郡，1753年1月14日卒於牛津。少年早熟，15歲考進都柏林三一學院，1704年獲學士學位，1707年獲碩士學位,留校擔任講師、初級研究員。1709年刊行《視覺新論》,1710年發表《人類知識原理》,1713年出版《海拉斯和斐洛諾斯的對話三篇》，均成為當時英國各大學熱烈討論的問題。1734年被任命為愛爾蘭基爾肯尼地區主教,任職18年,仍致力於哲學的思辨。1752年移居牛津附近的新學院。貝克萊對於心理學的貢獻,主要是他的《視覺新論》，斷定經驗來自視覺、膚覺的客體、方位、大小和形狀。這本書主要企圖證明人們的視覺經由什麼途徑來知覺客體的距離、體積和位置；並探討視覺的觀念和膚覺的觀念有什麼差異，是否有共同的觀念。他認為由空間知覺來判斷距離的遠近和物體的大小，全憑人們的知覺經驗。物體投射到眼睛網膜的視象受方位、空氣透視和相對大小的影響，這已是人所共知的常識。還提出眼的輻合作用，眼的投射域和眼的調節作用（緊張度）。這些都符合現代眼科生理的事實。
基本觀點
表現在以下幾個方面：
第一，物質就是“虛無”。貝克萊深知物質概念是一切唯物主義和無神論者的基石，因此，他千方百計地攻擊唯物主義的物質不說，否認物質的客觀實在性，以圖達到他取消物質的目的，宣稱物質就是“虛無”。他說：關於“物質”或“有形實體”的學說，是“懷疑主義”的主要支柱，同樣，一切“無神論”和“不信宗教的瀆神的企圖，也是建立在這個基礎之上的。……物質的實體從來就是“無神論者”的摯友，這一點是無需多說的。他們的一切古怪系統，都明顯地，必然地依靠它；所以一旦把這塊基礎去掉，整個建築就不能不垮台”。他認為，物質是一個虛構的詞，不表示任何實在的東西，在人的心中也沒與之相應的觀念。由此得出結論，物質就是“虛無”，他譏笑唯物主義者說：“假如你願意的話，你可以把物質一詞用成和別人所用的無物一詞的意義一樣”。貝克萊就是這樣攻擊唯物主義的，但是，物質是不依賴於人的感覺的客觀存在，是人類長期實踐所證實的，決不是貝克萊可以取消得了的。
第二，存在就是被感知。人們認識的對象就是觀念，觀念並不反映觀念之外的任何事物，而且觀念之外就沒有任何事物，人們平常所說的事物，不過是觀念的各種不同的結合而已。例如，我們看到一個圓的形狀、紅的顏色，嗅到香的氣味，把這些感覺集合起來，人們就用蘋果這個名稱來表示它，並把它當做一個單獨事物來看待。由此得出結論，事物就是觀念的集合。然而，觀念本身並不能獨立存在，要有一個能感知它們的主體，這個主體就是“一個能感知的主動存在，要有一個能感知它們的主體，這個主體就是”一個能感知的主動實體，就是我所謂的心靈、精神、靈魂或自我。……觀念只存在於這個東西之中，或者就被這個東西所感知。主觀唯心主義在我國也同樣存在，明代的王陽明（1472——1528），集宋明時期主觀唯心主義之大成，有四個字就可以概括他的全部哲學叫做“心外無物”。就是說，萬事萬物，包括月亮、太陽……都存在於他的心中。
一般人可能會這樣反駁：這種主觀唯心主義顯然是站不住腳的，它不可避免地要陷入唯我論的可悲結局，既然，世界只存在於他的感覺中，那么世界上也就只有他一人是存在的了，這是何等荒謬呢！如果我們質問主觀唯心主義者，既然你認為世界上的一切都是你的感覺，那么當你還沒出世之前也就是還沒有你的感覺的時候，生你的父母是不是客觀存在的呢？對於這樣的問題他們是無法回答的。
然而，以上反駁是站不住腳的。要了解貝克萊的思想，絕不可把物質與存在（或非物質與不存在）混為一談。貝克萊的理論是“非物質論”（Immaterialism），認為世界上存在的只有能進行思考的心靈（Mind）和不能進行思考、只存在於心靈之中的觀念（Proception）。物質（Material）是不存在的，因為它被證明是一種沒有性質的物理客體（參看貝克萊的早期著作）。我們能夠感知到主觀存在的觀念，經驗到作為客觀實體的心靈。貝克萊的思想絕不等同於王陽明的思想，王陽明有很大的唯我論傾向，但貝克萊是反對唯我論的。貝克萊指出：我們所感知的只是觀念，我感知不到的觀念，對於我的心靈來說就是不存在的，但對於別的感知到它的心靈來說，這個觀念就是存在的，因為所謂的“心靈”並不是僅僅指我的心靈，而是指所有的心靈，包括永恆不朽的心靈——God，God給予所有觀念以感知，於是它們即使不為人所感知，也是存在的，別忘了貝克萊可是個有神論者。
對於生身父母的問題，我們可以做如此解釋：我們在沒有出世之前自然經驗不到父母的心靈，父母的心靈實體對於我們的心靈來說就是不存在的，但這並不意味著對於其他心靈（比如祖父祖母、父母的朋友們等等）來說我們的父母也是不存在的，他們可以經驗到我們的父母的心靈實體，因此對於這些心靈，我們的父母客觀存在。哪怕我們的父母就是Adam和Eve，還會有God這個永恆心靈來經驗他們的心靈。貝克萊不反對心靈的客觀存在，但他強烈反對物質的客觀存在。事實上，剛才所反駁的僅僅是貝克萊本人也不贊同的唯我論，而不是貝克萊的真正思想
在我們還是嬰兒的時候，我們的心靈具有了一定的感知能力。我們可以慢慢知道，哪些觀念的集合用“桌子”這一辭彙稱呼，那些觀念的集合用“椅子”這一辭彙稱呼，哪些似乎是觀念的集合的事物被稱為“父”、“母”或者“小朋友”。漸漸地，對我們心靈中經驗的能力趨於成熟時，我們會發現，“父”、“母”以及“小朋友”這些辭彙所指稱的事物與觀念有很大區別，通過進行經驗，我們會發現，和桌子與蘋果相比，他們是能動的，至少與本人十分相似。於是我們便可以做出判斷：“父”、“母”、“小朋友”不是觀念，而是一種與觀念截然不同的事物——心靈。
貝克萊悖論與第二次數學危機
第二次數學危機導源於微積分工具的使用。伴隨著人們科學理論與實踐認識的提高，十七世紀幾乎在同一時期，微積分這一銳利無比的數學工具為牛頓、萊布尼茲各自獨立發現。這一工具一問世，就顯示出它的非凡威力。許許多多疑難問題運用這一工具後變得易如翻掌。但是不管是牛頓，還是萊布尼茲所創立的微積分理論都是不嚴格的。兩人的理論都建立在無窮小分析之上，但他們對作為基本概念的無窮小量的理解與運用卻是混亂的。因而，從微積分誕生時就遭到了一些人的反對與攻擊。其中攻擊最猛烈的是英國大主教貝克萊。
解決
使分析基礎嚴密化的工作由法國著名數學家柯西邁出了第一大步。柯西於1821年開始出版了幾本具有劃時代意義的書與論文。其中給出了分析學一系列基本概念的嚴格定義。如他開始用不等式來刻畫極限，使無窮的運算化為一系列不等式的推導。這就是所謂極限概念的“算術化”。後來，德國數學家魏爾斯特拉斯給出更為完善的我們目前所使用的“ε-δ ”方法。另外，在柯西的努力下，連續、導數、微分、積分、無窮級數的和等概念也建立在了較堅實的基礎上。不過，在當時情況下，由於實數的嚴格理論未建立起來，所以柯西的極限理論還不可能完善。
柯西之後，魏爾斯特拉斯、戴德金、康托爾各自經過自己獨立深入的研究，都將分析基礎歸結為實數理論，並於七十年代各自建立了自己完整的實數體系。魏爾斯特拉斯的理論可歸結為遞增有界數列極限存在原理；戴德金建立了有名的戴德金分割；康托爾提出用有理“基本序列”來定義無理數。1892年，另一個數學家創用“區間套原理”來建立實數理論。由此，沿柯西開闢的道路，建立起來的嚴謹的極限理論與實數理論，完成了分析學的邏輯奠基工作。數學分析的無矛盾性問題歸納為實數論的無矛盾性，從而使微積分學這座人類數學史上空前雄偉的大廈建在了牢固可靠的基礎之上。重建微積分學基礎，這項重要而困難的工作就這樣經過許多傑出學者的努力而勝利完成了。微積分學堅實牢固基礎的建立，結束了數學中暫時的混亂局面，同時也宣布了第二次數學危機的徹底解決。
