定義
記



則係數多項式 就稱為帶參數 的k階蓋根堡多項式,也稱為超球不等式。

當 時蓋根堡多項式如下


當 時蓋根堡多項式如下


當是蓋根堡多項式如下:

特徵
1、多項式可以根據其生成函式來定義

2、多項式滿足遞推關係

3、蓋根堡多項式是蓋根堡微分方程的特殊解

當α=1/2時,方程式減少到勒讓德方程,蓋根堡多項式減少到勒讓德多項式。
當α=0時,方程式減少到切比雪夫微分方程,蓋根堡多項式減少到第一類的切比雪夫多項式。
4、它們是雅克比多項式的特殊情況



其中, 代表上升階乘的 。因此,也有羅德里格斯公式

歸一化
對於一個固定的α,所述多項式是在[-1,1]相對於所述加權函式正交


對於 而言

它們被歸一化

套用
在潛在理論和諧波分析的上下文中,蓋根堡多項式自然地表現為勒讓德多項式的擴展。

當n=3時,這給出了引力勢的勒讓德多項式擴展。類似的表達式可用於擴展球中的Poisson核心。

因此數量 是球面諧波,當被認為是x的函式。實際上,它們正好是帶狀球面諧波,達到歸一化常數。
蓋根堡多項式也出現在正定函式的理論中。
