簡介
自適應卡爾曼濾波是指在利用測量數據進行濾波的同時，不斷地由濾波本身去判斷系統的動態是否有變化，對模型參數和噪聲統計特性進行估計和修正，以改進濾波設計、縮小濾波的實際誤差。此種濾波方法將系統辨識與濾波估計有機地結合為一體。
卡爾曼
跟其他著名的理論（例如傅立葉變換，泰勒級數等等）一樣，卡爾曼也是一個人的名字，而跟他們不同的是，他是個現代人。
卡爾曼全名Rudolf Emil Kalman，匈牙利數學家，1930年出生於匈牙利首都布達佩斯。1953，1954年於麻省理工學院分別獲得電機工程學士及碩士學位。1957年於哥倫比亞大學獲得博士學位。卡爾曼濾波器，正是源於他的博士論文和1960年發表的論文《A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems》（線性濾波與預測問題的新方法）。
簡單來說，卡爾曼濾波器是一個“optimal recursive data processing algorithm（最最佳化自回歸數據處理算法）”。對於解決很大部分的問題，他是最優，效率最高甚至是最有用的。他的廣泛套用已經超過30年，包括機器人導航，控制，感測器數據融合甚至在軍事方面的雷達系統以及飛彈追蹤等等。近年來更被套用於計算機圖像處理，例如頭臉識別，圖像分割，圖像邊緣檢測等等。
卡爾曼濾波器
為了可以更加容易的理解卡爾曼濾波器，這裡會套用形象的描述方法來講解，而不是像大多數參考書那樣羅列一大堆的數學公式和數學符號。但是，他的5條公式是其核心內容。結合現代的計算機，其實卡爾曼的程式相當的簡單，只要你理解了他的那5條公式。
假設要研究的對象是一個房間的溫度。根據你的經驗判斷，這個房間的溫度是恆定的，也就是下一分鐘的溫度等於這一分鐘的溫度（假設我們用一分鐘來做時間單位）。假設對經驗不是100%的相信，可能會有上下偏差幾度。把這些偏差看成是高斯白噪聲（White Gaussian Noise），也就是這些偏差跟前後時間是沒有關係的而且符合高斯分配（Gaussian Distribution）。
另外，在房間裡放一個溫度計，但是這個溫度計也不準確的，測量值會比實際值偏差。我們也把這些偏差看成是高斯白噪聲。
好了，對於某一分鐘有兩個有關於該房間的溫度值：你根據經驗的預測值（系統的預測值）和溫度計的值（測量值）。要用這兩個值結合他們各自的噪聲來估算出房間的實際溫度值。
假如要估算k時刻的是實際溫度值。
首先要根據k-1時刻的溫度值，來預測k時刻的溫度。因為溫度是恆定的，所以會得到k時刻的溫度預測值是跟k-1時刻一樣的，假設是23度，同時該值的高斯噪聲的偏差是5度 （5是這樣得到的：如果k-1時刻估算出的最優溫度值的偏差是3，對自己預測的不確定度是4度，他們平方相加再開方，就是5）。
然後，從溫度計那裡得到了k時刻的溫度值，假設是25度，同時該值的偏差是4度。
用於估算k時刻的實際溫度有兩個溫度值，分別是23度和25度。究竟實際溫度是多少呢？相信自己還是相信溫度計呢？究竟相信誰多一點，我們可以用他們的covariance 來判斷。因為Kg^2=5^2/(5^2+4^2)，所以Kg =0.78，我們可以估算出k時刻的實際溫度值是：23+0.78*(25-23) =24.56度。可以看出，因為溫度計的covariance比較小（比較相信溫度計），所以估算出的最優溫度值偏向溫度計的值。
已經得到k時刻的最優溫度值了，下一步就是要進入k+1時刻，進行新的最優估算。沒看到什麼自回歸的東西出現。對了，在進入k+1時刻之前，我們還要算出k時刻那個最優值（24.56度）的偏差。算法如下：((1-Kg)*5^2)^0.5 =2.35。這裡的5就是上面的k時刻你預測的那個23度溫度值的偏差，得出的2.35就是進入k+1時刻以後k時刻估算出的最優溫度值的偏差（對應於上面的3）。
就是這樣，卡爾曼濾波器就不斷的把covariance遞歸，從而估算出最優的溫度值。他運行的很快，而且它只保留了上一時刻的covariance。上面的Kg，就是卡爾曼增益 （Kalman Gain）。他可以隨不同的時刻而改變他自己的值，是不是很神奇！
經典卡爾曼濾波
動態系統的卡爾曼濾波數學模型包括狀態方程和觀測方程，對於線性系統，其離散形式為
= ,−1−1+ −1−1
= +
其中，為系統在時刻的n×1維狀態向量，,−1為系統從−1時刻到時刻的n×n維狀態轉移矩陣，−1為−1時刻的r×1動態噪聲，−1為−1時刻的n×r動態噪聲矩陣，為系統在時刻的m×1維觀測向量，為系統在時刻的m×n維觀測矩陣，為系統在時刻的m×1維觀測噪聲。
