定義
這個群包含G和H為子群，由G和H的元素生成，並且是有以上性質的群之中“最一般”的。自由積一定是無限群，除非G和H其一是平凡群。自由積的構造方法和自由群（由給定的生成元集合所能構造出的最一般的群）相似。
建構方式
若 G和 H是群，以 G和 H形成的 字是以下形式的乘積：
自由積
自由積其中 是 G或 H的元。這種字可以用以下的操作簡化：
•除去其中的（G或H的）單位元，
•將其中的gg一對元素以其在G中的積代替，將其中的hh一對元素以其在H中的積代替。
每個簡約字都是 G的元素和 H的元素交替的積，例如：
自由積自由積 G∗ H的元素是以 G和 H形成的簡約字，其上的運算是將兩字接合後簡化。
例如若 G是無窮循環群< x>， H是無窮循環群< y>，則 G∗ H的元素是 x的冪和 y的冪交替的積。此時 G∗ H同構於以 x和 y生成的自由群。
自由積
自由積設 是群的一個族。用 形成的字，也可以用上述操作簡化為簡約字。
自由積 自由積仿上可定義出 的 自由積。
表示
自由積設
是 G的一個展示（ S是生成元的集合， R是關係元的集合）
自由積又設
自由積是 H的一個展示。那么
即是 G∗ H是 G的生成元和 H的生成元所生成，而其關係是 G的關係元和 H的關係元所組成。（兩者都是不交並。）
性質
自由積 自由積 自由積 自由積將 自然地映射到 的群同態是內射，故此這個群同態將 嵌入到 中為子群。
泛性質
自由積
自由積
自由積
自由積
自由積設 G是群， 是由群組成的一個族，有一族群同態 。那么存在唯一的群同態 ，使得對所有 都有 。
自由積 自由積 自由積其中 是把 嵌入到 中的群同態。
推廣
共合積（英語： amalgamated (free) product或 free product with amalgamation，法語： produit (libre) amalgamé）是自由積的推廣。設 G和 H是群，又設 F是另一個群，並有群同態。
自由積
自由積及
自由積對 F中所有元素 f，在自由積 G∗ H中加入關係
自由積
自由積便得出其共合積。換言之，在 G∗ H中取最小的正規子群 N，使得上式左方的元素都包含在內，則商群就是共合積 。
自由積共合積可視為在群範疇中圖表 的推出。
塞弗特－范坎彭定理指，兩個路徑連通的拓撲空間沿著一個路徑連通子空間接合的並，其基本群是這兩個拓撲空間的基本群的共合積。
共合積及與之相近的HNN擴張，是討論在樹上作用的群的Bass–Serre理論的基本組件。
