緊運算元

簡介

緊運算元是一類重要的有界運算元，它最接近於有限維空間上的線性運算元。

設X，Y是賦范線性空間，A是X到Y的連續運算元。如果A把定義域中任何有界集映射成Y中的列緊集，則稱A是緊運算元，或全連續運算元。

發展

緊運算元概念是希爾伯特(Hilbert,D.)於1906年引入的。

1917年裡斯(Riesz,F.)對緊運算元進行了系統的研究。

1930年紹德爾(Schauder,J.P. )證明了，若X,Y都是巴拿赫空間，A∈(X→Y)，則A是緊運算元的充分必要條件是它的共軛運算元A*是緊的。如果Y是巴拿赫空間，則從X到Y的緊線性運算元全體(X→Y)是巴拿赫空間(X→Y)的閉線性子空間。當Y或X的共軛空間X*是具有可數基的巴拿赫空間時，X到Y的緊線性運算元可用有限秩線性運算元來逼近。

對一般巴拿赫空間未必如此，恩夫洛(Enflo,P.)曾舉出反例說明這一點。

線性運算元

在數學中，線性映射（也叫做線性變換或線性運算元）是在兩個向量空間之間的函式，它保持向量加法和標量乘法的運算。術語“線性變換”特別常用，尤其是對從向量空間到自身的線性映射（自同態）。