基本介紹
緊基數強緊基數是一類很“大”的大基數，若對於任何無窮基數λ，語言L都是(λ，κ)緊的，且，則稱基數κ是強緊基數，語言L是(λ，ω)緊的，這兒λ是任意無窮基數，因而，強緊基數也是對無窮基數ω的某些性質進行推廣而得到的，開斯勒(H.J.Keisler)和波蘭學者塔爾斯基(A.Tarski)於1964年引入強緊基數的概念。
強緊基數必是可測基數，因而也必是弱緊基數，福平卡-赫巴契克於1966年證明了：若存在強緊基數，則對任何集合X，V≠L[X]，這裡V是全集，L[X]是相對於X的可構造集，或說是從X出發的可構造集，以色列學者索洛韋(R.M.Solovay)於1974年用力迫法證明了：若κ是強緊基數，對於每個>κ的奇異強極限基數λ，有2 =λ ，亦即對於一些很特殊的、很大的基數，證明了廣義連續統假設是成立的 。
相關定義及定理
緊基數設κ，λ為基數，，令
緊基數
緊基數設U是P(λ)上的濾子，若對每一個 ，則稱U是精細的(Fine)。
緊基數定義1 設κ為正則不可數基數， 為任意基數，稱κ為λ-強緊的充要條件為在Pλ上存在非主的、精細的、κ-完全的超濾(或Pλ上存在精細的測度) 。
緊基數κ稱為強緊的充要條件為對所有 ，κ是λ-強緊的。
緊基數
緊基數
緊基數
緊基數 緊基數 緊基數 緊基數 緊基數定義 2 設κ為正則不可數基數， 為任意基數， (或 )為無窮語言，若對任意語句集Φ，|Φ|=λ，當 時，Φ’都有模型，則Φ有模型，那么稱 有(κ，λ)強緊性定理，稱 是強緊的，若對所有 ， 有(κ，λ)-強緊性定理。
下列定理說明強緊來源於無窮語言的(κ，λ)一強緊性定理。
下面定理的證明請參考相應書籍 。
定理3 設κ是正則基數，則下列命題等價：
[1]對任意S，S上每一個κ-完全超子可擴充成S上的超濾；
緊基數[2]對任何 上存在精細的測度；
緊基數[3]無窮語言 滿足強緊性定理。
定理4 若κ≤λ，則下列命題等價：
[1]κ是λ-強緊的．
緊基數
緊基數
緊基數
緊基數[2]存在初等嵌入 ，以κ為臨界點，使得當 時，有 ，滿足 ，
緊基數[3]若F是集合S上的任一κ-完全的濾子，它由基數≤λ的集所生成，則F可擴充的S上的κ-完全超濾 。
推論5 強緊基數是可測基數。
緊基數定理6 (沃列克-赫貝西(Vopenka-Hrbacek)若存在強緊基數，則對任何 。
緊基數
緊基數定理7 若λ為正則基數，，κ是λ-強緊基數，則 。
緊基數
緊基數定理8 若存在強緊基數，則在該基數以上的奇異基數，其奇異基數假定都成立(即若κ為強緊基數，λ>κ為奇異基數，則當 時有 )。
緊基數推論9 若κ是強緊基數，為奇異強極限基數，則2 =λ 。
下面給出可測基數與強緊基數之間關係的一個性質．
定理10(梅勞斯(Menas))若κ是可測基數，並且它是強緊基數的極限，則κ是強緊基數 。
緊基數
緊基數定義11 設κ為正則基數，，函式t，使得，則稱t為生長在Pλ的元素P上的二元函式。
設M是滿足下列性質的函式族：
緊基數[1]若，則t生長在Pλ元素上，
緊基數
緊基數[2]若，則，
緊基數[3](t生長在P上)，
則稱M為二元(κ，λ)-網(Mess)(簡稱網)。
緊基數
緊基數
緊基數如果存在函式，使得對每一個↑，則稱f為M的解(Solution)，這時M也稱為可解的。
緊基數 緊基數定理12 設κ是不可及基數，，，則κ是λ-強緊的充要條件為每一個二元(κ，λ)-網可解 。
