素數的間隔素數是如何分布的，這一問題一直是人們關注的焦點，也是一直令人困惑的重大課題。
素數的平均分布是反映素數分布的整體趨勢的量度，設π(x)表示不超過x的素數個數，所謂素數的平均分布密度就是π(x)/x.1849年德國數學家高斯利用當時已知的素數作了統計分析，得出
π(x)/x≈1/lnx 一
一式表示的就是素數定理，直到1896年法國的數學家哈達馬和比利時數學家瓦萊.德拉.普桑各自獨立地證明了素數定理。由此定理可知，素數的平均間隔是：
x/ π(x)≈lnx
素數分布的另一個研究熱點是確定相鄰素數的間隔，設p、q是兩個相鄰的素數，定義相鄰兩個素數間的合數的個數g為素數p與q的間隔，顯然：g=q-p-1.
最小的間隔是0，是2與3的間隔,只出現一次。
間隔g=1的兩個素數稱為孿生素數。早在二十世紀初，德國數學家蘭道就推測孿生素數有無窮多個，後來的許多證據支持這一猜想。1919年，挪威數學家布隆試圖用歐拉曾經證明素數無窮多的方法來證明孿生素數有無窮多個。他將所有素數對都取倒數和：
b=(1/3+1/5)+(1/5+1/7)+(1/11+1/13)+...
如果這個倒數和發散，那么孿生素數就有無窮多個，可是，他計算出這個和是個有限數，所以此路不通。
1922年，英國數學家哈代和李特伍德提出孿生素數分布的一個猜想：
設p(x)表示小於x的孿生素數的個數，那么：
p(x)≈2cx/(lnx)^2
其中c≈0.66016稱為孿生素數常數。當x無限增大時，x/(lnx)^2趨於無窮大。因此，哈代-李特伍德
猜想一旦成立，就可以推出蘭道猜想。
相鄰素數的間隔g,從理論上來說，可以是任意大，要多大有多大，換句話說，有任意多個連續合數。
至今人們知道的最大間隔g=777,為了尋找大間隔，數學家們開展了大量的研究工作。1987年，楊格等人利用CRAY-2型高速計算機，對小於7.263x10^13的所有相鄰素數的間隔作了統計，確定了最小的間隔是1，最大是777，一共有359種不同間隔，而1到777的奇數有389個，就是說，還有30種素數間隔沒有出現。於是人們更加關心下面一些問題：
1。設k是任一奇數，是否必有兩個相鄰素數其間隔是k?
2。間隔為k的相鄰素數是有限個還是無窮多？
3。如果間隔為k的相鄰素數存在，那么怎樣找到他們呢？最小的n是多少呢？
對於最後一個問題，美國維斯里安大學的喬治.W.波利茨得到了一些有趣的研究結果。
定理：設p是一個奇素數，不能被3整除，如果p,p+k+1，p+2k+2是三個相鄰素數，則k=6t+5,其中t是非負整數，即k=5 mod 6
證明：首先證明k=2 mod 3,由於不能被3整除，所以p+1,p+2中必有一個能被3整除，但是p+k+1,p+2k+2
都是素數，所以k不能被3整除；設k=3m+1,則p+k+1=（p+2)+3m,p+2k+2=(p+1)+3(2m+1)必有一個能被3整除，而這是不可能的，所以k=3m+2,又k是奇數，所以m必是奇數，設m=2t+1，則k=6t+5.證畢。
其實，我們還可以加上一個p+3k+3，因為p不能被3整除，所以p+3k+3=p+3(k+1)也不能被3整除。
下面就來求出一組k=5時的4個相鄰素數，設四個相鄰素數是p,p+6，p+12,p+18,列出p到p+18之間的所有奇合數：p+2,p+4,p+8,p+10,p+14,p+16,要使它們是合數，可以設p+2=3r,則p+8=(p+2)+6，p+14=(p+2)+12可被3整除，p+3不能被5整除，不然p+18=(p+3)+15就是合數了，所以設p+4=5s,p+3=7t,p+5=11u,
即：p=1 mod 3=1 mod 5=4 mod 7=6 mod 11,由中國剩餘定理解出p=2310n+2041,其中n是非負整數， 使p,p+6,p+12,p+18同時為素數的最小 n=6，即：15901，15907，15913，15919。
(15791,15797,15803,15809也是符合p,p+6,p+12,p+18，比上述結論更小)
波利茨進一步證明了上述關於等間隔相鄰素數的定理的一般情形：設pi是第i個素數，k為奇數，如果p>pi,則從p開始存在間隔均為k的pi個相鄰素數的必要條件是：
k=2*3*5*...pi - 1 (mod 2*3*5*...pi)
或k=2*3*5*...pi*t - 1 (t為正整數）
從這個必要條件出發，有可能構造出間隔為k=2*3*5*...pi*t - 1的pi個相鄰素數。例如，前面的定理就是相當於取i=2,pi=3,因而有k=2*3*t - 1=6t-1.再如，取i=3,則pi=5,於是，可找出5個相鄰素數，使它們的間隔都是k=2*3*5 - 1 (mod 2*3*5),即k=30m+29 (m為非負整數），例如，取m=0,則k=29,仿照前面求間隔的方法與過程，求出五個相鄰素數其間隔都是29：
9843019，9843049，9843079，9843109，9843139。
值得一提的是：中國數學家及語言學家周海中於1992年首次給出了梅森素數分布的精確表達式；後來這一重大成果被國際上命名為“周氏猜測”。該猜測的內容為：當2^（2^n）<p<2^（2^（n+1））時，Mp有2^（n+1）－1個是素數（註：p為素數；n為自然數；Mp為梅森數）。這一猜測至今未被證明或反證，已成為著名的數學難題。
