概念
場是可測量的物理量在空間與時間中的連續分布。它不依賴於坐標系的選擇。例如，物體的質量分布成為質量場，大氣的壓力分布成為壓力場，溫度分布成為溫度場，流體的流速分布成為速度場。在數學中，這些場可以表示為多元純量值函式或向量值函式，因而相應地稱這些函式為場，即把多元純量值函式稱為純量場(或標量場，數量場)，多元向量值函式稱為向量場。向量分析研究純量場與向量場。當f是可微或C類函式時，稱場f是可微場或C類場。對場的研究離不開數學提供的三個“度”：梯度、散度與旋度。根據這三個概念的物理意義，引進了各種場的名稱：若散度div f≡0，則稱f為無源場或管狀場；若旋度rot f≡0，則稱f為無旋場；若存在u，使f=grad u，則稱f為勢場(又稱位場)，稱u為f的純量勢函式(位函式)，簡稱勢函式；若存在g，使f=rot g，則稱f為旋度場，稱g為f的向量勢函式。根據數學上的有關結論，這些場之間有下述關係：若f是C類場，且其定義域是單連通域，則f是無旋場，若且唯若它是勢場，f是無源場若且唯若它是旋度場，梯度場是無旋場，旋度場是無源場。對任何向量場f，存在純量場u及向量場g，使f=grad u+rot g(亥姆霍茲分解定理)。在數學分析中只是用多元微積分的方法初步討論場的理論。場論的進一步研究是近代物理的重要組成部分。
向量場
向量場是由一個向量對應另一個向量的函式。向量場廣泛套用於物理學，尤其是電磁場。
形成場的量為向量，稱該場為向量場。
在一定的單位制下，用一個實數就足以表示的物理量是標量，如時間、質量、溫度等；在這裡，實數表示的是這些物理量的大小。和標量不同，矢量是除了要指明其大小還要指明其方向的物理量，如速度、力、電場強度等；矢量的嚴格定義是建立在坐標系的旋轉變換基礎上的。常見的矢量場包括Maxwell場、重矢量場。
建立坐標系( x,y,z)。空間中每一點( x0, y0, z0)都可以用由原點指向該點的向量表示。因此，如果空間在所有點對應一個唯一的向量( a,b,c)，那么時空中存在向量場 F：( x, y, z)→( a, b, c)。
向量
幾何學與物理學的許多概念(例如，粒子的瞬時速度，力，物體繞固定點的旋轉) 都可以用一個方向加上一個正的數值所完全確定。這就是一個向量。任何X都可幾何地表示為一條從O到向量P的線段OP，它有適宜的方向，而使OP的長度等於X的量值。如果線段QR平行且等於OP，那么QR所表示的向量與OP的相同。一個向量相對於以Ox，Oy，OE為軸的直線坐標系的分量正好就是點P的坐標(x，y，z)。(1)兩個向量的和X+X′定義為分量為 (x+x′，y+y′，z+z′)的向量，或者，等價地，就是以OP，OP′為邊的平行四邊形的對角線所表示的向量。(2)如果a是一個數 (在這裡，也稱為是一個標量，則向量aX定義為其分量是(ax，ay，az) 的向量。利用這些(以及其它一些)標記法，比起不用它們來說，可以把某些幾何的及物理的事實表達得更為簡潔明了。在研究一些連續現象時常常會涉及到向量場，所謂向量場是這樣一種函式： 對於空間中某個區域的每一點，它給出一個向量作為函式值。
從比較抽象的觀點來看，上面講到的定義，特別是 (1) 和 (2)，不必局限於恰好是3個分量。於是就有(實數域上的)向量空間的概念。這是一種數學結構，在其上定義了滿足一些自然公理的運算(1)及 (2) 。向量空間與線性的概念密切相關，凡是出現線性概念的場合都能用到向量空間。
梯度
梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函式在該點處的方嚮導數沿著該方向取得最大值，即函式在該點處沿著該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。
設體系中某處的物理參數(如溫度、速度、濃度等)為w，在與其垂直距離的dy處該參數為w+dw，則稱為該物理參數的梯度，也即該物理參數的變化率。如果參數為速度、濃度、溫度或空間，則分別稱為速度梯度、濃度梯度、溫度梯度或空間梯度。其中溫度梯度在直角坐標系下的表達式如右圖。
在向量微積分中，標量場的梯度是一個向量場。標量場中某一點上的梯度指向標量場增長最快的方向，梯度的長度是這個最大的變化率。更嚴格的說，從歐幾里得空間R n到R的函式的梯度是在R n某一點最佳的線性近似。在這個意義上，梯度是雅可比矩陣的特殊情況。
在單變數的實值函式的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函式，也就是線的斜率。
梯度一詞有時用於 斜度，也就是一個曲面沿著給定方向的 傾斜程度。可以通過取向量梯度和所研究的方向的點積來得到斜度。梯度的數值有時也被稱為梯度。
