概念
純子群(pure subgroup)是研究阿貝爾群的重要工具之一。設G是阿貝爾群，H是G的一個子群。若對所有整數n≥0，均有nG∩H=nH，其中nG表示G的所有元素的n倍組成的子群；等價地，若對任一非負整數n和H的任意元素h，只要在G中存在元素g使得h=ng，就可以在H中找到某一元素h使得h=nh，則稱H是G的純子群。阿貝爾群G的直和項H一定是G的純子群；反之，純子群不一定是阿貝爾群的直和項。例如，阿貝爾群G的周期子群T是G的純子群，但是T不一定是G的直和項。若阿貝爾群G的純子群H是一個周期群，並且H的元素的階一致有界，則H是G的一個直和項。一般地，若H是阿貝爾群G的純子群且商群G/H可分解為循環群的直和，則H是G的直和項。
群
群是一種只有一個運算的、比較簡單的代數結構；是可用來建立許多其他代數系統的一種基本結構。
設G為一個非空集合，a、b、c為它的任意元素。如果對G所定義的一種代數運算“·”(稱為“乘法”，運算結果稱為“乘積”)滿足：
(1)封閉性，a·b∈G;
(2)結合律，即(a·b)c = a·(b·c);
(3)對G中任意元素a、b，在G中存在惟一的元素x，y，使得a·x= b，y·a=b，則稱G對於所定義的運算“·”構成一個群。例如，所有不等於零的實數，關於通常的乘法構成一個群;時針轉動(關於模12加法)，構成一個群。
滿足交換律的群，稱為交換群。
群是數學最重要的概念之一，已滲透到現代數學的所有分支及其他學科中。凡是涉及對稱，就存在群。例如，可以用研究圖形在變換群下保持不變的性質，來定義各種幾何學，即利用變換群對幾何學進行分類。可以說，不了解群，就不可能理解現代數學。
1770年，拉格朗日在討論代數方程根之間的置換時，首先引入群的概念，而它的名稱，是伽羅華在1830年首先提出的。
子群
群的特殊的非空子集。群G的非空子集H，若對G的乘法也成為群，則稱H為G的子群，記為H≤G。若子群H≠G，則稱H為G的真子群，記為H<G。任何一個非單位元群G至少有兩個子群，G自身以及由單位元e作成的單位元群{e}(或用{1}或1表示)，稱它們為G的平凡子群。不是平凡子群的子群稱為非平凡子群。群G的非空子集H為G的子群的充分必要條件是：對任意的a，b∈H，恆有ab∈H.若{H|i∈I}是G的子群的集合，I是一個指標集，則所有H的交H是G的一個子群。
阿貝爾群
亦稱交換群。一種重要的群類。對於群G中任意二元a，b，一般地，ab≠ba。若群G的運算滿足交換律，即對任意的a，b∈G都有ab=ba，則稱G為阿貝爾群。由於阿貝爾(Abel，N.H.)首先研究了交換群，所以通常稱這類群為阿貝爾群。交換群的運算常用加法來表示，此時群的單位元用0(零元)表示，a的逆元記為-a(稱為a的負元)。用加法表示的交換群稱為加法群或加群。
設G是一個群，如果對任何a，b∈G，ab=ba，則稱G是一個交換群，或阿貝爾群。阿貝爾群的子群都是正規的。在阿貝爾群中，我們把運算記為加法。設G是一個群，S是G的一個子集，G的包含S的所有子群的交稱為G的由S生成的子群，記作〈S〉。如果G=〈S〉，則稱G是由S生成的，S是G的一個生成元集。如果G有一個有限生成子集，則稱G是有限生成的。設G是一個群，A，B是G的子群，如果G=〈A∪B〉，A∩B僅含G的單位元，則稱G是子群A，B的直積，當G是阿貝爾群時，也稱G是子群A，B的直和，記作G=A⊕B。循環群是阿貝爾群。在同構的意義下，無限循環群只有整數加群Z，有限階循環群只有Z，Z是模n的剩餘類加群，n取任意正整數。
商群
亦稱因子群，又稱模H的剩餘類群。由正規子群的陪集組成的一種群。設H是群G的一個正規子群，G關於H的所有左陪集所成的集合G/H={xH|x∈G}按照如下的乘法：(xH)(yH)=(xy)H成為一個群，稱為G關於H的商群。由於H是正規子群，xH=Hx，所以G/H也是H的右陪集所成的集合，因此，無論用左陪集還是右陪集來定義商群，結果是一致的。當G是加法群時，G/H也常寫成G-H，稱為差群。
人物簡介
阿貝爾是挪威數學家。他在中學時代已自學歐拉、拉格朗日和高斯等著名數學家的著作。讀大學時試圖用代數方法解一般五次方程，這使他發現：用根式解一般五次以上的方程是不可能的，在他1826年的著名論文中給出了證明，使得這個困擾數學家幾百年的問題終於得到了解決。他在與此有關的一系列工作中已經引入了群和域的概念，發現元素相乘可交換的群對方程的可解性理論有重要意義。因此，後人把交換群稱為阿貝爾群，他還研究了一類代數方程，它們是可以用根式求解的，現在叫阿貝爾方程。阿貝爾對數學分析的發展及其嚴格化也作出了卓越的貢獻，其中不少結果以他的名字命名，我們熟知的有：阿貝爾積分、阿貝爾積分方程，關於導出阿貝爾函式的代數函式的積分的和的阿貝爾定理，無窮級數的阿貝爾判斂法，關於冪級數的阿貝爾定理等。他又與雅可比在友好的競爭中共同創立了橢圓函式理論，儘管有如此傑出的成就，他卻沒有及時地得到數學界的承認。他一生貧窮，並且由於得了肺病沒能得到一個教學職務。在他27歲那年，柏林大學終於聘他為數學教授，但聘書寄到時，已是他去世後第3天了。
