納維葉-斯托克斯方程

在解釋納維-斯托克斯方程的細節之前，首先，必須對流體作幾個假設。 斯托克斯，Ｇ。 斯托克斯的主要貢獻是對粘性流體運動規律的研究。

簡介 NS方程，全稱：納維葉－斯托克斯(Navier-Stokes)方程 ，2000年5月24日，美國克萊數學研究所的科學顧問委員會把NS方程列為七個“千禧難題”（又稱世界七大數學難題）之一，這七道問題被研究所認為是“重要的經典問題，經許多年仍未解決。”克雷數學研究所的董事會決定建立七百萬美元的大獎基金，每個“千年大獎問題”的解決都可獲得百萬美元的獎勵。另外六個“千年大獎問題”分別是： NP完全問題， 霍奇猜想（Hodge），黎曼假設（Riemann），楊－米爾斯理論（Yang-Mills），龐加萊猜想和BSD猜想（Birch and Swinnerton-Dyer）。
[編輯本段]NS方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨著我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船，湍急的氣流跟隨著我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信，無論是微風還是湍流，都可以通過理解NS方程的解，來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的，我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展，使我們能解開隱藏在NS方程中的奧秘。
[編輯本段]深度描述
描述粘性不可壓縮流體動量守恆的運動方程。簡稱N-S方程。因1821年由C.-L.-M.-H.納維和1845年由G.G.斯托克斯分別導出而得名。在直角坐標系中，其矢量形式為＝－Ñp＋ρF＋μΔv，式中ρ為流體密度，p為壓強，u（u，v，w）為速度矢量，F（X，Y，Z）為作用於單位質量流體的徹體力，Ñ為哈密頓運算元 ，Δ為拉普拉斯運算元。後人在此基礎上又導出適用於可壓縮流體的N-S方程。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，目前只有在某些十分簡單的流動問題上能求得精確解；但在有些情況下，可以簡化方程而得到近似解。例如當雷諾數RE1時，繞流物體邊界層外 ，粘性力遠小於慣性力 ，方程中粘性項可以忽略，N-S方程簡化為理想流動中的歐拉方程（＝－Ñp＋ρF）；而在邊界層內，N-S方程又可簡化為邊界層方程，等等。在計算機問世和迅速發展以後，N-S方程的數值求解才有了很大的發展。
在解釋納維-斯托克斯方程的細節之前，首先，必須對流體作幾個假設。第一個是流體是連續的。這強調它不包含形成內部的空隙，例如，溶解的氣體的氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個必要的假設是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強，速度，密度，溫度，等等。該方程從質量，動量，和能量的守恆的基本原理導出。對此，有時必須考慮一個有限的任意體積，稱為控制體積，在其上這些原理很容易套用。該有限體積記為\Omega，而其表面記為\partial\Omega。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨著流體運動。
[編輯本段]其他數學難題的解決情況
①龐加萊猜想：2006年6月3日，中國數學家曹懷東和邱成桐已補足了佩雷爾曼證明的漏洞，將龐加萊猜想完全證明！
②黎曼假設：很多人攻關，沒看到希望
③霍奇猜想：進展不大
④楊—米爾理論：太難，幾乎沒人做
⑤P與NP問題：沒什麼進展
⑥BSD猜想：有希望破解
[編輯本段]相關人物
斯托克斯，Ｇ。Ｇ（George Gabriel stokes1819~1903）英國力學家、數學家。1819年8月13日生於斯克林，1903年2月1日卒於劍橋。
斯托克斯1849年起在劍橋大學任盧卡斯座教授，1851年當選皇家學會會員，1854年起任學會書記，30年後被選為皇家學會會長。斯托克斯為繼Ｉ.牛頓之後任盧卡斯座教授、皇家學會書記、皇家學會會長這三項職務的第二個人。
斯托克斯的主要貢獻是對粘性流體運動規律的研究。Ｃ．－Ｌ．－Ｍ．－Ｈ．納維從分子假設出發，將Ｌ．歐拉關於流體運動方程推廣，1821年獲得帶有一個反映粘性的常數的運動方程。1845年斯托克斯從改用連續系統的力學模型和牛頓關於粘性流體的物理規律出發，在《論運動中流體的內摩擦理論和彈性體平衡和運動的理論》中給出粘性流體運動的基本方程組，其中含有兩個常數，這組方程後稱納維-斯托克斯方程，它是流體力學中最基本的方程組。1851年，斯托克斯在《流體內摩擦對擺運動的影響》的研究報告中提出球體在粘性流體中作較慢運動時受到的阻力的計算公式，指明阻力與流速和粘滯係數成比例，這是關於阻力的斯托斯公式。斯托克斯發現流體表面波的非線性特徵，其波速依賴于波幅，並首次用攝動方法處理了非線性波問題（1847）。
斯托克斯對彈性力學也有研究，他指出各向同性彈性體中存在兩種基本抗力，即體積壓縮的抗力和對剪下的抗力，明確引入壓縮剛度的剪下剛度（1845），證明彈性縱波是無鏇容脹波，彈性橫波是等容畸變波（1849）。
斯托克斯在數學方面以場論中關於線積分和面積分之間的一個轉換公式（斯托克斯公式）而聞名。